蚌线
蚌线
在平面几何中，蚌线是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 formula_1 的动直线与给定曲线 formula_2 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 formula_3 ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 formula_2 关于极点 formula_1 和迹距 formula_3 的蚌线。
用解析几何的方式来表述：平面曲线 formula_2 的极坐标方程为 formula_8 ，则以 formula_9 为方程的曲线是 formula_2 关于原点的蚌线。
“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线。是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。
尼科美迪斯蚌线.
性质.
有定直线 formula_11 和直线外一固定点 formula_1，过点 formula_1 的动直线与 formula_11 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 formula_11 关于极点 formula_1 的蚌线 formula_2 ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 formula_11 。
通常记 formula_11 与点 formula_1 的距离为 formula_21 ，迹距为 formula_22。根据 formula_21 和 formula_22 的关系，内支有三种不同形态：
尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 formula_11 垂直并通过极点 formula_1。
历史和应用.
古希腊数学家是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。
帕普斯将该曲线称为“螺线”（--
），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（--
17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。
倍立方体.
作线段 formula_30 。以点 formula_31 为圆心、formula_32 为半径作圆，以点 formula_33 为圆心、formula_32 为半径作圆，交于点 formula_35 。
过点 formula_31 作线段 formula_37 的垂线 formula_11。以点 formula_35 为极点、formula_32 为迹距作直线 formula_11 的蚌线外支。
延长 formula_42 交蚌线于点 formula_43 。延长 formula_32 交圆 formula_33 于点 formula_46 。连接 formula_47 交 formula_11 于点 formula_49 。线段 formula_50 的长度即为 formula_51 。
三等分角.
作任意直角三角形 formula_52 ，点 formula_31 为垂足。以点 formula_1 为极点、formula_55 为迹距作直线 formula_32 的蚌线外支。
过点 formula_33 作直线 formula_32 的垂线，交蚌线于点 formula_35。 formula_60 就是 formula_61 的三等分线。
解析几何.
在极坐标系中，设点 formula_1 为坐标原点，则直线 formula_11 和蚌线 formula_2 的方程可以表示为：
formula_65
formula_66
在直角坐标系中，设点 formula_1 为坐标原点，则直线 formula_11 和蚌线 formula_2 的方程可以表示为：
formula_70
formula_71
或用参数方程表示为：
formula_72
尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。
帕斯卡蜗线.
帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。
作圆 formula_1 关于圆上一个定点 formula_31 、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 formula_33，延长 formula_76 至圆外，与所作蚌线交于点 formula_35。根据蚌线的性质，易知 formula_78 。这条特殊的蚌线被称为{{le|三等分角蜗线|Limaçon_trisectrix}}。
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