域 (数学) 在抽象代数中，体（，）是一种具有加法跟乘法的集合（代数结构），且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上，体正是数域以及四则运算的推广，所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。 体是环的一种。但区别在于域要求它的非零元素可以做除法，且体的乘法有交换律。 最有名的体结构的例子就是有理数体、实数体还有复数体。还有其他形式的体，例如有理函数体、代数函数体、代数数体、p进数体等，都很常在数学的领域中被使用或是研究，特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠著有限体。 在两个体中的关系被表示成体扩张的观念。Galois理论，由ÉvaristeGalois在1830年代提出，致力于理解体扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果，解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外，还解决了五次方程不能有公式解的问题。 正式定义. 给定集合 formula_1 ，它具有了以下两种二元运算： 满足： 那称「 formula_16 为体」，当二元运算的符号不重要时，亦可将 formula_16 简记为 formula_1 。 惯用符号与称呼. (1)体的代号： 有时会基于德语 -- ，以字母 formula_1 代称体，但也会基于英语 -- 以 formula_20 代称。 (2)加法与乘法： 习惯上，formula_21 被称为乘法， formula_12 的单位元会记为 formula_23 ，并称为 formula_16 的乘法单位元。 类似地， formula_25 被称为加法， formula_11 被称为体的加法单位元。所以在省略括弧后，仍依照先乘后加的方式阅读。 (3)减法与除法： 对于任意 formula_27 ，会依据群的习惯，将 formula_28 的加法逆元素记做 formula_29 ，并将 formula_30 简记为 formula_31 ，并可暱称为减法。 类似地，若 formula_32 ， formula_28 的乘法逆元素记做 formula_34 ，并将 formula_35 简记为 formula_36 ，并可暱称为除法。 基本性质. 定理 (1) — formula_16 为体，那对任意 formula_38 有 formula_39 证明 根据分配律和加法单位元的性质会有 formula_40 formula_41 这样的话，根据加法结合律还有加法单位元的性质有 formula_42 formula_43 故得证。formula_44 以上的定理也证明了，只要formula_10 为交换群且有分配律，就足以决定 formula_11 相关乘法的值。所以正式定义中把 formula_11 排除在乘法的交换群之外是不会有问题的。也就是说 系理 (乘法交换律) — formula_16 为体，那对任意 formula_27 有 formula_50 系理 (乘法结合律) — formula_16 为体，那对任意 formula_13 有 formula_53 定理 (2) — formula_16 为体，那对任意 formula_27 有 formula_56 证明 根据乘法交换律跟分配律有 formula_57 这样根据定理(1)和加法交换律就有 formula_58 所以 formula_59 再考虑到乘法的交换律有 formula_60 故得证。formula_44 定理 (3) — formula_16 为体，若 formula_27 且 formula_32 和 formula_65 ，则 formula_66 证明 根据乘法的结合律和交换律，还有乘法单位元的性质会有 formula_67 故得证。formula_44 定理 (4) — formula_16 为体，那对任意 formula_27 ，若 formula_71 ， 则 formula_72 或 formula_73。 证明 如果 formula_74 ，那对任意 formula_38 都有 formula_72 ，所以以下只考虑 formula_77 状况。 假设存在 formula_27 满足 formula_32 和 formula_65 ，但同时 formula_71 ，这样根据定理(1)和(3)有 formula_82 这显然是矛盾的，所以根据反证法和德摩根定理，对所有的 formula_27 ，只能「 formula_84 其中一者为 formula_11 」或「 formula_86 」，也就等价于： 「对所有 formula_27 ，若 formula_71 则 formula_84 其中一者为 formula_11 。」 故得证。formula_44 有限体. 有限体是一个体有著有限多个元素，其元素个数也跟体的阶数相同，按照体的定义，可以知道formula_115为最小的有限体，因为根据定义，一个体至少包含两个元素formula_116。 通常来说，最简单的质数阶体，就是formula_117，此处formula_118为质数，在这个体上的加法与乘法等同于在整数formula_119上的运算，然后除以formula_118，取它的余数。这个运算精确的建构了一个体，通常我们将这个体记作formula_121。要注意的是formula_122，当n为合成数时并不是一个有限体，例如在 formula_123 中 formula_124 ，因此 formula_125 不能形成群。 如果我们将向量空间formula_126，则我们将V称作有限体向量空间，其中formula_127，可知这个向量空间中，有formula_128个元素。 如果我们将有限体放入矩阵，也就是formula_129，则此矩阵的元素有formula_130 历史. 历史上，三个代数中的学科导引到了体的概念:第一个是解多项式方程的问题，第二个是代数数论，第三个则是代数几何的问题。体的概念始于1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根"x"1, "x"2, "x"3的置换，在以下的表达 ("x"1 + ω"x"2 + ω2"x"3)3 (其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上，拉格朗日概念上的解释了由 希皮奥内·德尔·费罗 和 弗朗索瓦·韦达 的经典解法，其解法借由简化三次方程关于未知 "x" 到一个 "x"3的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察，拉格朗日因此连结的关于体的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有著更全面的延伸。 伽罗瓦理论. 请参见伽罗瓦理论