佐恩引理 佐恩引理（-- ）也被称为库拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合论中一个重要的定理，其陈述为： 在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，则此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。 佐恩引理是以数学家马克斯·佐恩的名字命名的。 具体来说，假设formula_1是一个偏序集，它的一个子集formula_2称为是一个全序子集，如果对于任意的formula_3有formula_4或formula_5。而formula_2称为是有上界的，如果formula_7中存在一个元素formula_8，使得对于任意的formula_9，都有formula_10。在上述定义中，并不要求formula_8一定是formula_2中的元素。而一个元素formula_13称为是极大的，如果formula_14且formula_15，则必然有formula_16。 佐恩引理、良序定理和选择公理彼此等价，在集合论的Zermelo-Fraenkel公理基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。佐恩引理在数学的各个分支中都有重要地位，例如在证明泛函分析的哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem），证明任一向量空间必有基，拓扑学中证明紧空间的乘积空间仍为紧空间的吉洪诺夫定理，和抽象代数中证明任何含幺环的真理想必然包含于一个极大理想和任何域必然有代数闭包的过程中，佐恩引理都是关键。 应用举例. 佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环formula_17必然有极大理想。用formula_7来表示formula_17的所有真理想（即formula_17的所有双边理想，且该理想是formula_17的真子集）。在formula_7中引入一个偏序，定义为集合的包含关系，那么formula_7中必然有一个极大元素，并且这个元素是formula_17的真子集，从而formula_17有一个极大理想。 为了应用佐恩引理，需要证明formula_7的任何一个全序子集formula_2都有一个上界，即存在一个理想formula_28满足formula_29并且formula_28比formula_2中任何一个元素都大。现取formula_28为formula_2中所有理想的并。可以证明，formula_28是一个理想：如果formula_35和formula_36是formula_28中的两个元素，那么必然存在formula_2中两个理想formula_39满足formula_40。注意formula_2是一个全序集，所以必然有formula_42或者formula_43，从而有formula_44或formula_45。无论是哪种情况，均有formula_46。而且，对于任何formula_47都可以证明formula_48。由此，formula_28是formula_17的一个理想。 现在考虑证明的核心部分：利用formula_51充要于formula_52，可以证明formula_28一定是formula_17的真子集。因为如果formula_52，那么必然有某个formula_56满足formula_57，这意味着formula_58。但formula_59，从而formula_60，矛盾。 这样，利用佐恩引理，formula_7必然包含一个极大元，而这个元素就是formula_17的一个极大理想。 注意这个结论只在formula_17是单位环的时候成立，在formula_17不是单位环的情形下，一般而言这个结论是不成立的。 从选择公理证明佐恩引理的思路. 假设佐恩引理不成立，那么存在一个非空的偏序集formula_65，使得它的任何一个全序子集都有上界，但formula_7中任何元素都不是极大元素。然后，对于任何一个全序子集formula_2，可以定义一个相对应的元素formula_68，使其严格大于formula_2的任意元素，因为formula_2有一个上界，formula_7中又必然存在一个元素严格大于这个上界。为了确实地定义函数formula_36，我们需要用到选择公理。 利用函数formula_36，可以构造formula_7的一个全序子集formula_75，这里作为下标的指标集不仅可以是自然数，也可以是序数。事实上，所有序数组成一个真类，粗略地说，可以认为序数的数目大于任何集合的基数，formula_7也不例外。所以这个序列终会穷尽，这样就导出了矛盾。 上述的序列可以利用超限归纳法构造：formula_77可以选择为formula_7中任意元素，而对于任意一个序数formula_79，定义formula_80，注意formula_81是全序的，所以formula_82的定义是合理的。 事实上这个证明的结论略强于佐恩引理： 如果formula_7是一个偏序集，并且它的任何一个良序子集都有上界，那么对于formula_7的任意元素formula_85而言，formula_7中有一个大于等于formula_85的极大元。换言之，存在一个可以与formula_85比较的极大元。 我们也可以直接应用选择公理证明佐恩引理： 根据选择公理，对于一个偏序集formula_7的所有非空子集formula_90在存在一个选择函数formula_91使得formula_92。从formula_7本身开始：考虑formula_94，如果formula_95是极大元素则终止，否则构造formula_96，这里formula_97，如果formula_98是极大元素则终止，否则用相同的技术构造formula_99。 于是我们获得了formula_7一个全序子集: formula_101 根据假设上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素则终止，否则继续上述步骤，最终总能够穷尽formula_7 不过需要说明的是上述证明并没有阐明为何最终能够穷尽formula_7，是一个不够严格的证明。见于 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一书。(可用Bourbaki fixed point theorem) 历史. 佐恩引理在1922年首先被库拉托夫斯基所发现，1935年佐恩亦独立地发现此结论。 文献.