欧拉公式
欧拉公式
欧拉公式（，又称-{zh-hans:尤拉; zh-hant:尤拉; zh-tw:欧拉;}-公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数 formula_1，都存在
formula_2
其中 formula_3 是自然对数的底数，formula_4 是虚数单位，而 formula_5 和 formula_6 则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 formula_1 则以弧度为单位。这一复数指数函数有时还写作 cis "x" （，余弦加"i" 乘以正弦）。由于该公式在 formula_1 为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式。
欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。
当 formula_9 时，欧拉公式变为，即欧拉恒等式。
历史.
约翰·伯努利注意到有
formula_10
并且由于
formula_11
上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于复对数的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。
欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。
与此同时，于 1714 年发现
formula_12
由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 2"i"π 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。
1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表。
大约50年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数视做复平面中的点。
形式.
对于任意实数formula_13，以下等式恒成立：
formula_14
由此也可以推导出
formula_15及formula_16。
当formula_17时，欧拉公式的特殊形式为
证明.
首先，在复数域上对formula_18进行定义：
对于formula_19，规定formula_20。
对复数的极坐标表示formula_21，有：
formula_22
且根据棣莫弗公式，formula_23
从而有：
formula_24
假设formula_25，则：
formula_26
（由于包含n在幂，所以要ln）从而有：
formula_27
这一步骤用到 formula_28（墨卡托级数）
即：
formula_29
又有(arctan x 约等于x 于0附近）：
formula_30
从而可以证明：
formula_31
即：
formula_32
令formula_33，可得欧拉公式。
证毕。
把函数formula_18、formula_35和formula_36写成泰勒级数形式：
formula_37
formula_38
formula_39
将formula_40代入formula_18可得：
formula_42
对于所有formula_43，定义函数formula_44
由于formula_45
可知formula_46不可能为0，因此以上定义成立。
formula_47之导数为：
formula_48
设formula_49和formula_50
formula_51（拉格朗日中值定理）
formula_52
formula_53
formula_54
因此formula_47必是常数函数。
formula_56
formula_57
formula_58
重新整理，即可得到：
formula_2
找出一个原函数formula_60，使得formula_61及formula_62。
假设 formula_63，有：
formula_64
假设 formula_65，有：
formula_66
使用积分法，可得formula_67的原函数是以上两个函数分别与任意实数的和，分别记为：
formula_68
formula_69
其中，formula_70和:formula_71是任意实数。
又formula_72时，formula_62，观察到：
formula_74
formula_75
所以formula_76，可以得出：
formula_77
cis函数.
在复分析领域，欧拉公式亦可以以函数的形式表示
formula_78
formula_79
并且一般定义域为formula_80，值域为formula_81（复平面上的所有单位向量）。
当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。
当formula_82值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。
检定和角公式.
由于formula_83且formula_84，则有
formula_85
实部等于实部，虚部等于虚部，因此
formula_86
formula_87
在复分析的应用.
这公式可以说明当 formula_1 为实数时，函数 formula_89 可在复数平面描述一单位圆。且 formula_1 为此平面上一条连至原点的线与正实数轴的交角。先前一个在复数平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换
任何复数 formula_91 皆可记为
formula_92
formula_93
在此
formula_94为实部
formula_95为虚部
formula_96为 formula_97 的模
formula_98，其中 formula_99
本站由爱斯园团队开发维护，感谢那些提出宝贵意见和打赏的网友，没有你们的支持，网站不可能发展到今天，
继往开来，善终如始，我们将继续砥砺前行。
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.