余弦定理
余弦定理
余弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值（formula_1）的数学式，参考右图，余弦定理指的是：
formula_2
同样，也可以将其改为：
formula_3
formula_4
其中formula_5是formula_6角的对边，而formula_7和formula_8是formula_6角的邻边。
勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当formula_6为formula_11时，formula_12，等式可被简化为
formula_13
当知道三角形的两边和一角时，余弦定理可被用来计算第三边的长，或是当知道三边的长度时，可用来求出任何一个角。
历史.
余弦定理的历史可追溯至公元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。根据几何原本第二卷的命题12和13，并参考右图，以现代的数学式表示即为：
formula_14
其中formula_15，将其带入上式得到：
formula_16
证明.
三角函数.
见右图，在formula_5上做高可以得到（投影定理）：
formula_18
将等式同乘以c得到：
formula_19
运用同样的方式可以得到：
formula_20
formula_21
将formula_22的右式取代：
formula_23
勾股定理.
勾股定理之一.
设formula_24中，formula_25，formula_26，formula_27。过formula_28点作formula_29的垂线，垂足为formula_30，如果formula_30在formula_29内部，则formula_33的长度为formula_34，formula_35的长度为formula_36，formula_37的长度为formula_38。根据勾股定理：
formula_39
formula_40
formula_41
formula_42
如果formula_30在formula_29的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。
勾股定理之二.
设formula_24中，formula_25，formula_26，formula_27。过formula_28点作formula_50的垂线，垂足为formula_30，设formula_52，则formula_53，根据勾股定理：
formula_54
formula_55
formula_56
formula_57
formula_58
如果formula_30在formula_50的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。
应用.
余弦定理是解三角形中的一个重要定理。
求边.
余弦定理可以简单地变形成：
formula_61
formula_62
formula_63
因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
求角.
余弦定理可以简单地变形成：
formula_64
formula_65
formula_66
因为余弦函数在formula_67上的单调性，可以得到：
formula_68
formula_69
formula_70
因此，如果已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
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