费马数
费马数
费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：
formula_1
其中"n"为非负整数。
若2"n" + 1是素数，可以得到"n"必须是2的幂。（若"n" = "ab"，其中1 1。那么 "a" 能把
formula_6
和"F""j"都整除；则"a"能整除它们相减的差。因为"a" > 1，这使得"a" = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。
其他性质：
formula_7 (参见高斯函数).
费马数的因式分解.
最小的12个费马数为：
其中前八个来源于（OEIS数列）。
只有最小的12个费马数被人们完全分解了。
历史.
1640年，费马提出了一个猜想，认为所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个费马数成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了"F"5的分解式：
"F"5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
欧拉证明费马数的因数皆可表成"k"2"n"+1 + 1，之后卢卡斯证明费马数的因数皆可表成"k"2"n"+2 + 1。
素性检验.
设formula_8为第"n"个费马数。如果"n"不等于零，那么：
formula_9是素数，当且仅当formula_10。
证明.
假设以下等式成立：
formula_10
那么formula_12，因此满足3k=1（modformula_9）的最小整数k一定整除formula_14，它是2的幂。另一方面，k不能整除formula_15，因此它一定等于formula_16。特别地，存在至少formula_16个小于formula_9且与formula_9互素的数，这只能在formula_9是素数时才能发生。
假设formula_9是素数。根据欧拉准则，有：
formula_22,
其中formula_23是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现formula_24，因此formula_25，以及formula_26。因为formula_27，根据二次互反律，我们便可以得出结论formula_28。
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