群表示论
群表示论
在群论中，群表示论（）是一个非常重要的理论。它包含了（局部）紧致群、李群、李代数及群概形的表示等种种分支，近来无限维表示理论也渐露头角。表示理论在量子物理与数学的各领域中均有重要应用。
基本定义.
表示理论早期是藉矩阵的语言描述的，具体定义如下：
形式地说，一个群formula_1的表示乃一同态 formula_2，其中formula_3为给定的有限维向量空间，系数布于一个域formula_4，通常取formula_5，但在一般域（如局部域或有限域）上的表示也有重要应用。formula_6表从formula_3上的自同构，或对一给定的基底来说，是formula_8阶可逆方阵的集合。若formula_9是平凡的，则称此表现是忠实的。
若所考虑的群formula_1带有额外的结构（如拓扑群、李群或群概形），我们通常要求formula_11满足相应的条件（如连续性、可微性或者要求它是概形间的态射）；在有限群及紧致群以外的情况，通常也须考虑无穷维表示。
一个群formula_1的所有有限维表示构成一个张量范畴，记为formula_13；其态射定义如下：
formula_14
它等价于有限维formula_15-模所构成的范畴。不难验证表示间的同构确由矩阵的相似变换给出。一个表示被称作不可约的，若且唯若它没有在formula_1的作用下不变的非平凡子空间。若一个表示能表成不可约表示的直和，则称之为完全可约的。若取formula_17，则紧致群的表示均为完全可约的，对于一般的李群及群概形则复杂得多，完全可约与否通常与半单性有关。
特征标.
给定formula_1的一个表示，可以得到一个特征标formula_19，它是个类函数。特征标理论在有限群分类中占关键地位；在紧致群上，特征标满足舒尔正交关系，又根据彼得-外尔定理，不可约表现的特征标相对于 formula_20 范数在类函数中稠密。请参见特征标理论。
诱导与限制.
设formula_21为formula_1之子群，formula_23。以下将定义两个函子formula_24（限制）与formula_25（诱导）。
诱导表示亦可用矩阵直接计算，或定义为某个主齐性空间的截面；后者可推广至李群与群概形的表示，此时诱导表示的性状与formula_34的几何构造密切相关。
弗罗贝尼乌斯互反定理言明：若formula_35分别为formula_36的表示，则有自然的同构formula_37。换言之：formula_38为一对伴随函子。
若以特征标表之，上述同构化为一个较弱但较具体的等式：formula_39。
与物理学的关系.
迄今已知的物理定律通常在某个李群的作用下保持不变，如空间的旋转群formula_47或其覆盖formula_48，其不可约表示关系到角动量的量子化。进一步的例子是：任何与狭义相对论相容的量子力学系统都带有formula_49（半直积）的酉表示，其中formula_50是时空的平移而formula_21是 劳仑兹变换群，藉著研究formula_1的不可约酉表示，可分类粒子的质量和自旋。
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