Γ函数
Γ函数
在数学中，formula_1函数（伽玛函数；Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数域上的扩展。如果formula_2为正整数，则：
formula_3
根据解析延拓原理，伽玛函数可以定义在除去非正整数的整个复数域上：
formula_4 formula_5
数学家勒让德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在机率论和组合数学中此函数很常用。
定义.
formula_1函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：
formula_7
对复数formula_8，我们要求formula_9。
formula_10函数还可以通过对formula_11做泰勒展开，解析延拓到整个复平面：
formula_12
这样定义的formula_10函数在全平面除了formula_14以外的地方解析。
formula_10函数也可以用无穷乘积的方式表示：
formula_16
这说明formula_17是亚纯函数，而formula_18是全纯函数。
历史动机.
Γ函数本身可以被看作是一个下列插值问题的解：
『找到一个光滑曲线连接那些由 formula_19 所给定的点formula_20，并要求formula_21要为正整数』
由前几个的阶乘清楚地表明这样的曲线是可以被画出来的，但是我们更希望有一个精确的公式去描述这个曲线，并让阶乘的操作不会依赖于formula_21值的大小。而最简单的阶乘公式 formula_23 不能直接应用在formula_21值为分数的时候，因为它被限定在formula_21值为正整数而已。相对而言，并不存在一个有限的关于加总、乘积、幂次、指数函数或是对数函数可以表达 formula_26，但是是有一个普遍的公式借由微积分的积分与极限去表达阶乘的，而 Γ函数就是那个公式。
阶乘有无限多种的连续扩张方式将定义域扩张到非整数：可以通过任何一组孤立点画出无限多的曲线。Γ函数是实务上最好的一个选择，因为是解析的(除了正整数点)，而且它可以被定义成很多种等价形式。然而，它并不是唯一一个扩张阶乘意义的解析函数，只要给予任何解析函数，其在正整数上为零，像是 formula_27，会给出其他函数有著阶乘性质。
无穷乘积.
formula_28函数可以用无穷乘积表示：
formula_29
formula_30
其中formula_31是欧拉-马歇罗尼常数。
formula_32
Γ积分.
formula_33
递推公式.
formula_34函数的递推公式为：
formula_35，
对于正整数formula_36，有
formula_37，
可以说formula_34函数是阶乘的推广。
递推公式的推导.
formula_39
我们用分部积分法来计算这个积分：
formula_40
当formula_41时，formula_42。当formula_43趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：
formula_44.
因此第一项formula_45变成了零，所以：
formula_46
等式的右面正好是formula_47, 因此，递推公式为：
formula_48.
formula_51.
由此可知当formula_52时，formula_53.
formula_55。
formula_56.
formula_57.
formula_58
formula_59
formula_60
formula_61
formula_62
formula_63
重要性质.
此式可用来协助计算t分布机率密度函数、卡方分布机率密度函数、F分布机率密度函数等的累计机率。
对任何实数α
formula_64
斯特灵公式.
Γ函数与斯特灵公式
formula_65（蓝色）、formula_66（橘色），数字越大formula_67会越趋近formula_65。但formula_66会在负值则会因为出现虚数而无法使用。
斯特灵公式能用以估计formula_17函数的增长速度。公式为：
formula_71
其中e约等于。
formula_72
特殊值.
连分数表示
伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和：
formula_73
导数.
Γ函数的微分
Γ函数（蓝色）、Γ函数的微分（橘色），其中，大于50与小于-20的部分被截掉。
对任何复数"z"，满足 "Re(z) > 0"，有
formula_74
解析延拓.
注意到在formula_10函数的积分定义中若取formula_76为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程
formula_77
并注意到函数formula_78在整个复平面上有解析延拓，我们可以在formula_79时设
formula_80
从而将formula_1函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在formula_82有单极点，留数为
formula_83
程式实现.
许多程式语言或试算表软体有提供Γ函数或对数的Γ函数，例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用codice_1，即可求得任意实数的伽玛函数的值。
而在没有提供Γ函数的程式环境中，也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十进制可获得有效数-{}-字八位数的精确度，已足以填满单精度浮点数的二进制有效数-{}-字24位：
formula_84
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