双曲线
双曲线
在数学中，双曲线（；，意思是超过、超出）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是formula_1的两倍，这里的formula_1是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。formula_1还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。
从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线
formula_4
使得formula_5，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对formula_6的多于一个的解。
在笛卡尔坐标平面上，两个互为倒数的变量的图像是双曲线。
定义.
上面已经列出：
双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率formula_8，对于北南开口的双曲线有斜率formula_9。
双曲线有个性质，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。
双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程formula_10给出，这里的formula_11是常数。
如果对双曲线方程交换formula_12和formula_13，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。
笛卡尔坐标.
中心位于formula_14的左右开口的双曲线：
formula_15
中心位于formula_14的上下开口的双曲线：
formula_17
实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。
在两个公式中，formula_1是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而formula_19是半虚轴。
如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是formula_20，平行于实轴的两边的长度是formula_21，注意formula_19可以大于formula_1。
如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是formula_21。
离心率给出自：
formula_25
左右开口的双曲线的焦点是：formula_26，其中c给出自formula_27。
上下开口的双曲线的焦点是：formula_28，其中c给出自formula_27。
等轴双曲线.
等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即formula_30且formula_31，此时渐近线方程为formula_32（无论焦点在formula_12轴还是formula_13轴）。
单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为formula_7，即formula_36，满足方程：
formula_37或formula_38。
对于以直线formula_39和直线formula_40为渐近线的直角双曲线：
formula_41
这种双曲线最简单的例子是：
formula_42
共轭双曲线.
当双曲线formula_43的实轴是双曲线formula_44的虚轴，且双曲线formula_43的虚轴是双曲线formula_44的实轴时，称双曲线formula_43与双曲线formula_44为共轭双曲线。若formula_44的方程为
formula_50
则formula_43的方程为
formula_52
其特点为：
极坐标.
左右开口的双曲线：
formula_54
上下开口的双曲线：
formula_55
上右下左开口的双曲线：
formula_56
上左下右开口的双曲线：
formula_57
在所有公式中，中心在极点，而formula_1是半实轴和半虚轴。
双曲线的参数方程.
如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。
左右开口的双曲线：
formula_59
或
formula_60
上下开口的双曲线：
formula_61
或
formula_62
在所有公式中，formula_14是双曲线的中点，formula_1是半实轴而formula_19是半虚轴。
双曲线的标准方程.
焦点在formula_12轴：formula_67
焦点在formula_13轴：formula_69
双曲线的渐近线方程.
焦线平行于formula_12轴：formula_71
焦线平行于formula_13轴：formula_73
圆锥曲线方程.
formula_74
当formula_75时，表示双曲线。其中formula_76为焦点到准线距离，formula_77为弦与formula_12轴夹角。
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