贝祖等式 在数论中，裴蜀等式（）或贝祖定理（-- ）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 formula_1、formula_2 和 formula_3，关于未知数 formula_4 和 formula_5 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）： formula_6 有整数解时当且仅当" formula_3 "是 formula_1 及 formula_2 的最大公约数 formula_10 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 formula_4、formula_5 都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得演算法求得。 例如，12 和 42 的最大公因数是 6，则方程 formula_13 有解。事实上有 formula_14、formula_15等。 特别来说，方程 formula_16 有整数解当且仅当整数" formula_1 "和" formula_2 "互素。 裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：formula_10 其实就是最小的可以写成 formula_20 形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。 历史. 历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（"Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres"）第二版中给出了问题的描述和证明。 然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明。 整数中的裴蜀定理. 对任意两个整数formula_1、formula_2，设formula_10是它们的最大公约数。那么关于未知数formula_4和formula_5的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）： formula_26 有整数解formula_27 当且仅当"formula_3"是formula_10的整数倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。 证明： 如果 formula_1 和 formula_2 中有一个是0，比如formula_32，那么它们两个的最大公约数是formula_2。这时裴蜀等式变成formula_34，它有整数解formula_27当且仅当"formula_3"是formula_2的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为formula_4可以是任何整数。定理成立。 以下设formula_1和 formula_2都不为0。 设formula_41，下面证明formula_42中的最小正元素是formula_1与formula_2的最大公约数。 首先，formula_45 不是空集（至少包含formula_46和formula_47），因此由于自然数集合是良序的，formula_42中存在最小正元素formula_49。考虑"formula_42"中任意一个正元素formula_51（formula_52）对formula_53的带余除法：设formula_54，其中formula_55为正整数，formula_56。但是 formula_57 因此 formula_58，formula_59。也就是说，"formula_42"中任意一个正元素"formula_51"都是 formula_53 的倍数，特别地：formula_63、formula_64。因此 formula_53 是formula_1和formula_2的公约数。 另一方面，对formula_1和formula_2的任意正公约数formula_10，设formula_71、 formula_72，那么 formula_73 因此formula_74。所以formula_53是formula_1和formula_2的最大公约数。 在方程formula_6中，如果 formula_79，那么方程显然有无穷多个解： formula_80。 相反的，如果formula_6有整数解，那么formula_82，于是由前可知 formula_83（即 formula_84）。 formula_85时，方程有解当且仅当formula_1、formula_2互质。方程有解时，解的集合是 formula_88。其中formula_89是方程formula_90的一个解，可由辗转相除法得到。 所有解中，恰有二解formula_27满足formula_92及formula_93，等号只会在formula_1及formula_2其中一个是另一个的倍数时成立。辗转相除法给出的解会是这两解中的一个。 例子. 丢番图方程formula_96 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程formula_97是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程： formula_98。 通过扩展欧几里得算法可以得到一组特解formula_99：formula_100。 标题 formula_101 formula_102 #重定向 formula_103 formula_104 令formula_105 formula_106 取formula_107为满足formula_108的解 将formula_107代回formula_110，解一元一次方程式得formula_111 将formula_111代回formula_113，得formula_114 将formula_114代回formula_98，得formula_117 故formula_99为一组特解 于是通解为：formula_119，即 formula_120。 多个整数间的裴蜀定理. 设formula_121为formula_122个整数，formula_10是它们的最大公约数，那么存在整数formula_124 使得 formula_125。特别来说，如果formula_121互质（不是两两互质），那么存在整数formula_124 使得 formula_128。 多项式环formula_129里的贝祖定理. formula_130为域时，对于多项式环formula_129里的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族formula_132里的多项式formula_133。设formula_134为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式formula_135使得formula_136。特别来说，如果formula_133互质（不是两两互质），那么存在多项式formula_135使得formula_139。 对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。 任意主理想环上的情况. 裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环formula_42是主理想环，formula_1和formula_2为环中元素，formula_10是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素formula_4和formula_5使得： formula_146 这是因为在主理想环中，formula_1和formula_2的最大公约元被定义为理想formula_149的生成元。