托勒密定理
托勒密定理
在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形为圆内接四边形，两组和相同。或退化为直线以取得（这时也称为欧拉定理）。
狭义的托勒密定理也可以叙述为：若且仅若圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上也可以看做一种判定圆内接四边形的方法。
证明.
和差化积证明.
设弦AB，BC及CD对应的圆周角分别为formula_1， formula_2及 formula_3，外接圆的半径为formula_4，则有formula_5，formula_6，formula_7，formula_8，formula_9及formula_10。于是，原托勒密等式化为
formula_11。
现在，只需用和差化积公式，即可推得上式两边都等于formula_12。即得证。
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式： formula_13 ，两边取模，运用三角不等式得formula_14。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。
复数证明.
复数证明中的复数可以换成赋范向量空间中的向量。这说明了定理中的四点不一定限于同一平面。
逆定理的几何证明.
用几何方法也可以同时证明托勒密定理以及它的逆定理。设formula_15 为任意一个凸四边形。作三角形formula_16 与三角形formula_17 顺相似，则会有：
formula_18（红色角）
因此，
formula_19
同时，根据相似三角形的性质还有：
formula_20
由此可知三角形formula_21 与三角形formula_22 也是顺相似三角形。这两个顺相似关系说明：
formula_23
formula_24
两式相加，得到：
formula_25
等号成立当且仅当formula_26、formula_27、formula_28三点共线，也就等价于formula_29，formula_30 因此有
formula_31
formula_32
即是等价于formula_26、formula_34、formula_28、formula_36四点共圆。因此命题得证。
反演的证明.
使用反演方法，可以得出托勒密定理与三角不等式互为对偶命题的结论。事实上，设有凸四边形formula_15内接于圆，那么以其中一点formula_36为中心，以半径formula_39作反演，则圆变为不过点formula_36 的直线，点formula_26、formula_34、formula_28 变为这条直线上的三点：
formula_44、formula_45、formula_46。这三点之间有：
formula_47
而反演变换中的长度关系为：
formula_48
代入formula_49 式就得到：
formula_50
通分，并除以formula_51，就可得到：
formula_52
而如果formula_26、formula_34、formula_28、formula_36四点不共圆的话，那么以formula_36 为中心反演之后的三个点formula_44、formula_45、formula_46将在另一个圆上，因此不共线。formula_49 式里的等号也要改为大于等于号。这正是托勒密定理。
与西姆松定理的关系.
西姆松定理也是一个与四点共圆有关的定理。利用圆内接四边形边长之间的三角关系，可以将托勒密定理作为西姆松定理的推论。
西姆松定理说明：过一个三角形formula_62 外的一点formula_63 作它到三角形三边的垂线，设垂足分别是formula_64（如左图），那么formula_64这三个点在同一条直线上当且仅当formula_27 在三角形formula_62 的外接圆上（也就是说formula_68四点共圆）。
注意到由于formula_69与formula_70都是直角，formula_71四点共圆，并且这个圆的直径就是formula_72。因此：
formula_73
而根据圆内弦长的关系，有：formula_74
其中formula_4 为外接圆的半径。所以代入上式就可得到：
formula_76
同理可得：
formula_77
而在三角形formula_78中，两边长之和大于第三边：
formula_79
所以有：
formula_80
等号当且仅当formula_64共线，也就是formula_68四点共圆的时候取得。这正是托勒密定理。
推广.
托勒密定理的一个推广是开世定理。开世定理将圆内接四边形的四个顶点换为与外接圆相内切的四个小圆，而四边形的边变为圆与圆之间的外公切线。开世定理可以看做是“利用托勒密定理惨淡经营得到的结果”。
对一般的四边形，托勒密定理给出了它的对角线与边长之间的不等关系。如果要掌握更为精确的关系，可以通过以下的公式：
formula_83
由这个公式可以推出托勒密定理：formula_84的绝对值小于等于1，所以
formula_83
formula_86
也就是说
formula_87
formula_88
等号仅在formula_89，也就是说formula_90 的时候取到，这正好等价于四边形内接于圆。
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