相等
相等
在数学的领域中，若两个数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“formula_1”；formula_2当且仅当formula_3和formula_4相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如formula_5，即formula_6与formula_7是相等的。
注意，有些时候“formula_8”并不表示等式。例如，formula_9表示在数量级formula_10上渐进。因为这里的符号“formula_1”不满足若且唯若的定义，所以它不等于等于符号；实际上，formula_12是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。
集合formula_13上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。
实际上，这是"formula_13" 上唯一满足所有这些性质的关系。
去掉对反对称性的要求，就是等价关系。
相应的，给定任意等价关系formula_15，可以构造商集formula_16，并且这个等价关系将‘下降为’formula_16上的等于。
在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。
逻辑形式.
谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。
莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。
形式化这一说法，可以写成
对任意formula_3和"formula_4"，formula_2当且仅当对任意谓词formula_21 ，formula_22当且仅当formula_23。
然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：
对任意formula_3和"formula_4"，若formula_3等于"formula_4"，则formula_22当且仅当formula_23。
这条公理对任意单变量的谓词formula_21都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若formula_3和"formula_4"相等，则它们具有相同的性质。
可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：
对任意"formula_3"，formula_3等于"formula_3"。
则若formula_3和"formula_4"具有相同的性质，则特定的它们关于谓词formula_21是相同的。这里谓词formula_21为：formula_40当且仅当formula_41。
由于formula_22成立，formula_23必定也成立（相同的性质），所以formula_2（' 'formula_21"的变量为formula_4）."
等于的一些基本性质.
替代性.
对任意量formula_47和formula_48和任意表达式formula_49，若formula_50，则formula_51（设等式两边都有意义）。
在一阶逻辑中，不能量化像formula_52这样的表达式（它可能是个函数谓词）。
一些例子：
自反性.
对任意量formula_47，formula_75。
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性.
例子：如果formula_76，那么formula_77
传递性.
例子：如果formula_76，formula_79，那么formula_80
实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于"具有"传递性。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。
符号的历史.
「等于」符号或 「formula_1」被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。
由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 "The Whetstone of Witte" 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。
约等于的符号是formula_82或≒，不等于的符号是formula_83。
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