卡方分布

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卡方分布

卡方分布（, "χ"²---，或写作"χ"²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推论中应用最为广泛的概率分布之一，例如假说检定和置信区间的计算。由卡方分布延伸出来皮尔森卡方检定常用于：数学定义. 若"k"个随机变量"formula_11"、……、"formula_12"是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量"Z"的平方和 formula_13 被称为服从自由度为 "k" 的卡方分布，记作 formula_14 formula_15 性质. 可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。概率密度函数. 卡方分布的概率密度函数为： formula_16 其中formula_17，当formula_18时formula_19。这里Γ代表Gamma函数。累积分布函数. 卡方分布的累积分布函数为： formula_20，其中γ(k,z)为不完全Γ函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。自由度为"k"的卡方变量的平均值是"k"，方差是"2k"。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为： formula_21 其中formula_22是双伽玛函数。卡方变数与Gamma变数的关系. 当Gamma变数频率（λ）为1/2时，α的2倍为卡方变数之自由度。即： formula_23 formula_24 formula_25 卡方变数之期望值＝自由度卡方变数之方差＝两倍自由度可加性. 由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若formula_26分别独立服从自由度为formula_27的卡方分布，那么它们的和formula_28服从自由度为formula_29的卡方分布。偏差的平方和. 若"k"个随机变量"formula_11"、……、"formula_12"是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和 formula_32 其中均值 formula_33 它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即 formula_34 卡方分布表. p-value = 1- p_CDF. χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。常用的χ2与p-value表如下:

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