柯西序列
在数学中，柯西序列、柯西列、柯西数列（），也称为基本列，是指一个元素随着序数的增加而愈发靠近的数列，以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名。
柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。在更一般的一致空间中，可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。
柯西列一个重要性质是，在完备空间中，所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。
复数的柯西列.
一个复数序列
formula_1
被称为柯西列，如果对于任何正实数formula_2，存在一个正整数formula_3使得对于所有的整数formula_4，都有
formula_5
其中的竖线表示绝对值或模。
类似地，我们可以定义实数的柯西列。
度量空间中的柯西列.
为了将柯西列的定义推广到一般的度量空间，必须将绝对值替换为该度量空间中的距离。
形式上说，给定任何一个度量空间formula_6，一个序列
formula_7
被称为柯西列，如果对于任何正实数formula_2，存在一个正整数formula_3使得对于所有的整数formula_10，都有
formula_11
其中formula_12表示formula_13和formula_14之间的距离。
直观上说，一个序列中的元素越来越靠近似乎说明这个序列必然在这个度量空间存在一个极限，而事实上在某些情况下这个结论是不对的。
formula_16满足： formula_17
例子.
这个数列趋于 formula_18 ，但formula_18不属于formula_15，因此这个数列不收敛。
完备性.
一个度量空间formula_25中的所有柯西数列都会收敛到 formula_25 中的一点 ，那么formula_25被称为是一个完备空间。
实数是完备的，而且标准的实数构造包含有理数的柯西列。
有理数formula_28在通常定义的距离意义下不是完备的：
存在某个由有理数组成的序列，收敛到某个无理数，所以这数列在有理数这空间是不收敛的。
例如：
其他性质.
任何收敛数列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。
如果formula_35是一个由度量空间formula_36到度量空间formula_3的一致连续的映射，并且formula_38是formula_36中的柯西列，那么formula_40也必然是formula_3中的柯西列。
如果formula_38和formula_43是有理数、实数或复数构成的柯西列，那么formula_44和formula_45也是柯西列。
推广.
拓扑向量空间中的柯西列.
在一个拓扑向量空间formula_25中同样可以定义一个柯西列：在formula_25选择一个formula_48局部基formula_49，如果对于formula_49中的任何元素formula_51，存在一个正整数formula_3使得对于任意的formula_10而言，序列formula_54满足formula_55，那么这个序列就称为一个柯西列。
如果这个拓扑向量空间formula_25上有恰好可以引入一个平移不变度量formula_57，那么上述方法定义的柯西列和利用这个度量formula_57定义的柯西列是等价的。
群中的柯西列.
在一个群中，同样可以定义柯西列：
命formula_59表示一列有限指标的递减的formula_60的正规子群，那么群formula_60中一个序列formula_38称为柯西列（对于上述formula_63而言），当且仅当对于任意的formula_64，存在正整数formula_3使得对于任意的formula_66，都有formula_67。
如果用formula_68表示所有的这样定义的柯西列组成的集合，那么formula_68在序列点点相乘的意义下构成一个新的群。而且formula_70，即所有空序列（对于任意formula_64，存在formula_3使得对于任意formula_73，都有formula_74）构成了formula_68的正规子群。而商群formula_76称为formula_60相对于formula_63的完备化。
可以证明，这个完备化同构与序列formula_79的同构。
如果formula_63是个共尾序列（即任何有限的正规子群均包含某个formula_81），那么这个完备化在与formula_82的逆极限同构的意义下是规范的，这里的formula_63跑遍所有有限的正规子群。
生成维基百科快照图片，大概需要3-30秒！
如果网站内容有侵犯您的版权
请联系：pinbor@iissy.com
请联系：pinbor@iissy.com
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.