简森不等式
formula_1
一般形式.
延森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。
测度论的版本.
假设formula_2是集合formula_3的正测度，使得formula_4。若formula_5是勒贝格可积的实值函数，而formula_6是在formula_5的值域上定义的凸函数，则
formula_8
概率论的版本.
以概率论的名词，formula_2是个概率测度。函数formula_5换作实值随机变数formula_11（就纯数学而言，两者没有分别）。在formula_3空间上，任何函数相对于概率测度formula_2的积分就成了期望值。这不等式就说，若formula_6是任一凸函数，则
formula_15
特例.
机率密度函数的形式.
假设formula_3是实数轴上的可测子集，而formula_17是非负函数，使得
formula_18
以概率论的语言，formula_19是个机率密度函数。
延森不等式变成以下关于凸积分的命题：
若formula_5是任一实值可测函数，formula_6在formula_5的值域中是凸函数，则
formula_23
若formula_24，则这形式的不等式简化成一个常用特例：
formula_25
有限形式.
若formula_3是有限集合formula_27，而formula_2是formula_3上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：
formula_30
其中formula_31。
若formula_6是凹函数，只需把不等式符号调转。
假设formula_33是正实数，formula_24，formula_35及formula_36。上述和式便成了
formula_37
两边取取以formula_38为底数的指数函数就得出熟悉的均值不等式; 平均数不等式：
formula_39
这不等式也有无限项的离散形式。
统计物理学.
统计物理学中，若凸函数是指数函数，延森不等式特别重要：
formula_40
其中方括号表示期望值，是以随机变数"X"的某个概率分布算出。这个情形的证明很简单（参见Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三个指数函数
formula_41
套用不等式
formula_42
即得出所求的不等式。
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