!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 向量空间是一群可缩放和相加的数学实体（如实数甚至是函数）所构成的特殊集合，其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实体被称为向量，而向量空间正是线性代数的主要研究对象。 正式定义. 给定域 formula_1 和某集合 formula_2 ，它们具有了以下两种运算（函数）： 且这两种运算满足：（特别注意 formula_10 和 formula_11 是域 formula_12 是本身具有的加法和乘法） 这样称 「 formula_2 为定义在域 formula_12 上的向量空间」，而 formula_2 里的元素 formula_16 被称为向量；域 formula_12 里的元素 formula_18 被称为标量。这样域 formula_12 就是囊括所有标量的集合，所以为了解说方便，有时会将 formula_12 暱称为标量域或是标量母空间。在不跟域的加法混淆的情况下，向量加法 formula_21 也可以简写成 formula_10 。 前四个条件规定 formula_23 是交换群。上述的完整定义也可以抽象地概述成「 formula_1 是个域，且 formula_2 是一个 formula_26模」。 基本性质. 以下定理都沿用正式定义一节的符号与前提条件。 定理 (1) — 向量加法的单位元是唯一的。 以上的定理事实上继承自群的单位元唯一性。这样的话，可以仿造群的习惯以记号 formula_27 代表「向量加法 formula_21 的唯一单位元」，并称之为 formula_2 的零向量。 在不跟标量域的加法单位元 formula_30 混淆的情况下，零向量 formula_31 也可以简写成 formula_32 。 定理 (2) —  任意向量的向量加法逆元素是唯一的。 以上的定理事实上继承自群的逆元唯一性，这样的话，可以仿造群的习惯以 formula_33 代表「向量 formula_34 在向量加法 formula_21 下的唯一逆元素」，甚至可以把 formula_36 简记为 formula_37 ，并暱称为向量减法。在不跟标量的加法混淆的情况下， formula_33 也可记为 formula_39 ； formula_37 也可记为 formula_41 。 定理 (3) — 对所有的纯量 formula_18 都有 formula_43 。（零向量的伸缩还是零向量） 证明 考虑到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性质会有 formula_44 那取向量 formula_45 为 formula_46 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有 formula_47 故得证。formula_48 定理 (4) —  对所有的向量 formula_16 ，若纯量 formula_30 是域加法的单位元，则 formula_51 。 证明 考虑到域 formula_12 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律的话有 formula_53 那取向量 formula_54 为 formula_55 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定义会有 formula_56 故得证。formula_48 定理 (5) —  对所有的向量 formula_45 和标量 formula_18 ，如果 formula_60 ，则 formula_61 或 formula_62 ( 其中 formula_30 是域加法的单位元)。 证明 若 formula_64 ，根据定理(3)本定理显然成立。下面只考虑 formula_65 的状况。 假设存在向量 formula_16 和标量 formula_18 满足 formula_68 且 formula_69 ，但 formula_60 。若以 formula_71 表示域的乘法单位元，那根据其性质与和定义关于标量乘法单位元的部分会有 formula_72 那再根据定义关于标量乘法与域乘法的部分，还有域乘法的交换律会有 formula_73 那再套用定理(3)和前提假设会有 formula_74 这跟前提假设是矛盾的，所以根据反证法和德摩根定理，对所有向量 formula_16 和所有标量 formula_18 ，只有可能「 formula_61 或 formula_62 」或「formula_79」，但这段叙述正好等价于定理想证明的，故得证。formula_80 定理 (6) —  如果 formula_81 是 formula_18 的域加法逆元素，那对所有的向量 formula_45 ，formula_84 的向量加法逆元素必为 formula_85 。 证明 以下设纯量 formula_30 是域加法的单位元。 考虑到域 formula_12 自身的定义，还有标量乘法对域加法的分配律会有 formula_88 formula_89 然后考虑到前面的定理(4)，就有 formula_90 formula_91 然后考虑到定理(2)保证的逆元素唯一性，就可以知道向量 formula_84 的加法逆元素必为 formula_85 。formula_48 系理 —  如果 formula_95 是域加法单位元 formula_71 的域加法逆元素，那对所有的向量 formula_45 ，其向量加法逆元素必为 formula_98 。 额外结构. 研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 例子. 对一般域"F"，"V"记为"F"-向量空间。若"F"是实数域ℝ，则"V"称为实数向量空间；若"F"是复数域ℂ，则"V"称为复数向量空间；若"F"是有限域，则"V"称为有限域向量空间。 最简单的"F"-向量空间是"F"自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当"F"是实数域ℝ时，可以验证对任意实数"a"、"b"以及任意实数u、v、w，都有： (u + v) + w， w + v， v， #重定向 v就满足v + w 0。 "a" v + "a "w. "a" v + "b" v. ("ab")v。 v。 更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点formula_99都有一个坐标formula_100，并对应着一个向量formula_101。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组formula_101。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。 同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为formula_103，其中的formula_104都是实数。定义向量的加法和标量乘法是： formula_105， formula_106 formula_107 可以验证这也是一个向量空间。 再考虑所有系数为实数的多项式的集合formula_108。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，formula_108也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合formula_110也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。 方程组与向量空间. 向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组： formula_111 formula_112 如果formula_113和formula_114都是解，那么可以验证它们的“和”formula_115也是一组解，因为： formula_116 formula_117 同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。 一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。 对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程： formula_118 出于和上面类似的理由，方程的两个解formula_119和formula_120的和函数formula_121也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。 子空间基底. 如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间formula_122。 给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。 给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。 可以生成一个向量空间V的线性独立子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：formula_123，那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现： formula_124 这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。 可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中， ℝn的维度就是"n"。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基formula_125，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为： formula_126 那么v可以用数组formula_127来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为： formula_128 formula_129 formula_130 可以证明，存在从任意一个n维的formula_131-向量空间到空间formula_132的双射。这种关系称为同构。 线性映射. 给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f： formula_133 formula_134 所有线性变换的集合记为formula_135，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，formula_135中的线性变换可以通过矩阵来表示。 如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构formula_133，那么其逆映射formula_138也存在，并且对所有的formula_139，都有： formula_140