布朗运动
布朗运动（）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。
它是在西元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子愈小，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10-8厘米。
定义.
自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：
爱因斯坦的理论.
在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程式，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦的理论可决定原子的大小，一莫耳有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为「阿伏伽德罗常数」。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。
爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。
他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（formula_1 或者 "x，"并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 formula_2。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。
formula_3
第一行中的第二个等式是被 formula_4 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：
formula_5
拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 formula_1，让 D 为质量扩散系数：
formula_7
那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：
formula_8
假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解
formula_9
数学模型.
定义.
满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动
formula_10是一个布朗运动当且仅当formula_10为鞅，且formula_12也为鞅.
其他定义.
一维的定义
一维布朗运动formula_13是关于时间"t"的一个随机过程，他满足 ：
等价定义
一维布朗运动formula_13是关于时间"t"的一个随机过程，他满足 ：
高维定义
formula_27是"d"维布朗运动，只需满足formula_28为独立的布朗运动。
换句话说，"d"维布朗运动 取值于formula_29，而它在formula_30空间上的投影均为布朗运动。
Wiener测度的定义
设formula_31为从formula_32到formula_33的连续函数空间，formula_34为概率空间。布朗运动为映射
formula_35
formula_36.
Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为formula_37,是映射"B"关于formula_38的图测度。
换句话说， "W"是formula_31上的一个概率测度，满足对于任何formula_40，有
formula_41。
备忘
如果formula_54,集合formula_55不是有界的，对于任何formula_56，
如果formula_57（几乎处处）。
formula_58
布朗运动的数学构造.
利用Kolmogorov一致性定理.
设formula_59为formula_60空间中一列实值函数。设：
formula_61
这列函数满足：
formula_62，任意的formula_63,矩阵formula_64为对称半正定的。
利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程formula_65，它的均值formula_66任意， 协方差为上面定义的formula_67。
当formula_68，formula_69为不依赖于t的常数，formula_70为formula_71上的示性函数。则：
formula_72
在这个情况下，矩阵formula_64是对称且正定的。
我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。formula_74，当formula_75时， 称之为 标准的布朗运动.
利用随机过程.
Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。
formula_76
其中（"U""n", "n" ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为"σ"的随机变量序列。
利用傅立叶级数.
设2列独立的正态formula_77随机变量序列formula_78和formula_79。定义formula_80：
formula_81
为布朗运动。
争议.
对于布朗运动之误解.
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