!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 在数学中，点积（；）又称数量积;数量积或标量积（；），是一种接受两串等长的数字序列（通常是坐标向量）、返回单一数字的代数运算。 在欧几里得几何里，两条笛卡尔坐标向量的点积常称为内积;内积（；）。点积是内积;内积的一种特殊形式：内积是点积的抽象，内积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（内积空间）的度量。 从代数角度看，先求两数字序列中每组对应元素的积，再求所有积之和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。 点积的名称源自表示点乘运算的点号（formula_1），读作codice_1，标量积的叫法则是在强调其运算结果为标量而非向量。向量的另一种乘法是叉乘（formula_2），读作codice_2，其结果为向量，称为叉积或向量积。 定义. 点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两向量的长度和角度等几何概念来求解。 代数定义. 向量formula_3和formula_4的点积定义为： formula_5 这里的Σ是求和符号，而"n"是向量空间的维数。 例如，三维向量formula_6和formula_7的点积是 formula_8 点积还可以写为： formula_9。 这里，formula_10是行向量formula_11的转置。 使用上面的例子，1×3矩阵（行向量）乘以3×1矩阵（列向量）的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩阵): formula_12。 几何定义. 在欧几里得空间中，点积可直观定义为 formula_13 这里 |formula_14| 表示formula_14的模（长度），formula_16表示向量间的角度。 注意：点积的形式定义和这定义不同；在形式定义，formula_17和formula_11的夹角用上述等式定义。 这样，互相垂直的两条向量的点积总是零。若formula_17和formula_11都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两条向量，它们之间的夹角可以以下公式得到： formula_21 这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一向量投影到第二向量上（向量顺序这里在不重要，点积运算可交换），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这分数一定是小于等于1的，可以简单转化成角度值。 标量投影. 欧氏空间中向量formula_22在向量formula_23上的标量投影是指对于向量B来说向量A的垂直度到向量B的代表长度 formula_24 这里formula_16是formula_22和formula_23的夹角。从点积的几何定义formula_28不难得出，两向量的点积：formula_29可以理解为向量formula_22在向量formula_23上的投影再乘以formula_23的长度。 formula_33 两种定义的等价性. 点积的两种定义中，只需给定一种定义，另外一种定义就可以推出。 由几何定义推出代数定义. 设formula_34是formula_35空间的一组标准正交基，可以得出： formula_36 上文中已经得知两条向量点积的几何定义实际上就是一条向量在另外一条向量上的投影，故formula_22在任一标准基formula_38的点积formula_39就是formula_22在此标准基向量上的投影，而根据向量自身的定义，这个投影即为formula_41。因此： formula_42 由代数定义推出几何定义. 应用余弦定理。 注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到formula_43维的情形。 考虑向量 formula_44. 重复使用勾股定理得到 formula_45. 而由代数定义 formula_46, 所以，根据向量点积的代数定义，向量formula_47和自身的点积就是其长度的平方。 现在，考虑从原点出发的两条向量formula_17和formula_11，夹角formula_16。第三条向量formula_52定义为 formula_53, 构造以formula_17，formula_11，formula_52为边的三角形，采用余弦定理，有 formula_57. 根据引理1，用点积代替向量长度的平方，有 formula_58. "（1）" 同时，根据定义formula_52 ≡ formula_17 - formula_11，有 formula_62, 根据分配律，得 formula_63. "（2）" 连接等式"（1）"和"（2）"有 formula_64. 简化等式即得 formula_65, 以上即为向量点积的几何定义。 需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于formula_35 (formula_67)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是 formula_68 点积可以用来计算合力和功。若formula_11为单向量，则点积即为formula_17在方向formula_11的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。 性质. 点积有以下性质。 如果formula_11是单位向量，则点积给出formula_17在方向formula_11上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解向量对求向量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。 不像普通数的乘法服从消去律，如果formula_90，则formula_75总是等于formula_92，除非formula_74等于零。而对于点积： 如果formula_94并且formula_95: 则根据分配律可以得出：formula_96；进而： 如果formula_17垂直于formula_98，则formula_98可能formula_100，因而formula_11可能formula_102；否则formula_103。 延伸. 矩阵. 矩阵具有弗罗比尼乌斯内积，可以类比于向量的内积。它被定义为两个相同大小的矩阵A和B的对应元素的内积之和。 复矩阵情况下： formula_104 实矩阵情况下： formula_105 应用. 物理学中力学的力做功的问题，经常用到点积计算。 计算机图形学常用来判断方向，如两向量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。 向量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一。 此方法用于动画渲染（Animation-Rendering）。 广义定义. 在向量空间formula_106中，定义在formula_107上的正定对称双线性形式函数即是formula_106的内积，而添加有数量积的向量空间即是内积空间。