度量张量

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度量张量

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度量张量（英语：Metric tensor）在黎曼几何里面又叫黎曼度量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离，面积及角度的二阶张量。内容. 当选定一个局部坐标系统formula_1，度量张量为二阶张量一般表示为 formula_2，也可以用矩阵 formula_3 表示，记作为"G"或"g"。而 formula_4 记号传统地表示度量张量的协变分量（亦为「矩阵元素」）。 formula_5 到 formula_6 的弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b: formula_7 两个切向量的夹角 formula_8,设向量 formula_9 和 formula_10，定义为： formula_11 若 formula_12 为formula_13 到 formula_13 的局部微分同胚，其诱导出的度量张量的矩阵形式 formula_15，由以下方程式计算得出： formula_16 formula_17 表示 formula_12 的雅可比矩阵，它的转置为 formula_19。著名例子有 formula_20 之间从极座标系 formula_21 到直角座标 formula_22 的座标变换，在这例子里有： formula_23 formula_24 这映射的雅可比矩阵为 formula_25 所以 formula_26 这跟微积分里极座标的黎曼度量, formula_27，一致。例子. 欧几里德几何度量. 二维欧几里德度量张量： formula_28 弧线长度转为熟悉微积分方程式： formula_29 在其他坐标系统的欧氏度量：极坐标系：formula_30 formula_31 圆柱坐标系：formula_32 formula_33 球坐标系：formula_34 formula_35 平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：formula_36 formula_37 在一些习惯中，与上面相反地，时间"ct"的度规分量取正号而空间 ("x","y","z")的度规分量取负号，故矩阵表示为： formula_38

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