泛函

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泛函

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泛函（functional）指以函数构成的向量空间为定义域，实数为值域为的「函数」，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。设formula_1是由一些函数构成的集合。所谓formula_1上的泛函就是formula_1上的一个实值函数。formula_1称为该泛函的容许函数集。函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。例子. 设在 xOy 平面上有一簇曲线 formula_5, 其长度为formula_6。显然，formula_7不同, formula_8也不同，即formula_8的数值依赖于整个函数formula_7 而改变。 formula_8 和函数 formula_7 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。性质. 对偶性. 观察映射 formula_13 是一个函数，在这里，formula_14是函数f的自变量。同时，将函数映射至一个点的函数值 formula_15 是一个泛函，在此formula_14是一个参数只要 formula_17 是一个从向量空间至一个布于实数的体的线性转换，上述的线性映射彼此对偶，那么在泛函分析上，这两者都称作线性泛函。

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