高斯整数

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高斯整数

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高斯整数是实数和虚数部分都是整数的复数。所有高斯整数组成了一个整域，写作formula_1，是个不可以转成有序环的欧几里得整环。 formula_2 高斯整数的范数都是非负整数，定义为 formula_3 formula_1单位元formula_5的范数均为formula_6。高斯整环. 高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为formula_5。 formula_1的素元素又称为高斯质数。质元素. 高斯整数formula_9是素数当且仅当：或以下给出这些条件的证明。必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数formula_15，formula_16。现在，formula_17是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数formula_18的乘积。根据素数的定义，如果formula_15是素数，则它可以整除formula_20，对于某个formula_21。另外，formula_22可以整除formula_23，因此formula_24。于是现在只有两种选择：要么formula_15的范数是素数，要么是素数的平方。如果实际上对于某个素数formula_26，有formula_27，那么formula_15和formula_22都能整除formula_30。它们都不能是可逆元，因此formula_31，以及formula_32，其中formula_33是可逆元。这就是说，要么formula_34，要么formula_35，其中formula_36。然而，不是每一个素数formula_26都是高斯素数。formula_38就不是高斯素数，因为formula_39。高斯素数不能是formula_40的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成formula_14的形式，其中formula_42和formula_43是整数，且formula_44。剩下的就只有形为formula_11的素数了。形为formula_11的素数也是高斯素数。假设formula_47，其中formula_48是素数，且可以分解为formula_49。那么formula_50。如果这个分解是非平凡的，那么formula_51。但是，任何两个平方数的和都不能写成formula_11的形式。因此分解一定是平凡的，所以formula_15是高斯素数。类似地，formula_21乘以一个形为formula_11的素数也是高斯素数，但formula_21乘以形为formula_40的素数则不是。如果formula_15是范数为素数的高斯整数，那么formula_15是高斯素数。这是因为如果formula_49，那么formula_61。由于formula_17是素数，因此formula_63或formula_64一定是1，所以formula_65或formula_66一定是可逆元。作为整闭包. 高斯整数环是formula_67在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。作为欧几里德环. 在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为formula_68个单位。因此，formula_1是一个欧几里德环，其中formula_70。所以，该环尤其是主理想整环，其理想皆形如formula_71。若formula_72，则对应的商是： formula_73 未解决的问题. 高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数formula_74。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为formula_6的直线上存在无穷多个高斯素数吗？在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

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