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直角三角形

直角三角形有一个角为直角的三角形称为直角三角形（英语：right triangle）。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作「弦」。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作「勾」，长的那条边叫作「股」。直角三角形满足毕氏定理（勾股定理），即两直角边边长的平方和等于斜边长的平方。直角三角形各边和角之间的关系也是三角学的基础。直角三角形的外心是斜边中点；其垂心是直角顶点。若直角三角形的三边均为整数，称为毕氏三角形，其边长称为勾股数。埃及将边长比例为3:4:5的直角三角形称为埃及三角形。主要性质. 面积. 和其他三角形相同，直角三角形的面积等于任一边（底边）乘以对应高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角边）为底边，另一股即为对应的高，因此面积为二股直角边乘积的一半，面积"T"的公式为 formula_1 其中"a"和"b"是直角三角形的二股。若内切圆和斜边AB相切于P点，令半周长formula_2为"s"，则formula_3且formula_4，面积可表示为 formula_5 此公式只适用在直角三角形。高. 若在直角三角形有直角的顶点处作往斜边的高，可以将三角形切割成二个较小的三角形，两者均和原三角形相似，且二个小三角形彼此相似。因此：若以方程式表示 formula_6（有时称为直角三角形高定理） formula_7 formula_8 其中formula_9, formula_10, formula_11, formula_12, formula_13, formula_14均如图所示:p.156。三角形的面积等于底边乘高除二，也等于二股乘积除二，两者相等，因此 formula_15。斜边上的高和两股还有以下的关系。 formula_16 勾股定理. 勾股定理也称为毕氏定理，内容如下：在任意直角的三角形中，边长等于斜边的正方形，其面积等于边长等于两股的二个正方形的和可以表示为以下的公式表示 formula_17 其中formula_11为斜边长，而formula_9和formula_10为剩下二股的长度。内切圆及外接圆. 直角三角形的二股长度为formula_9和formula_10，斜边长度为formula_11，内切圆的半径为 formula_24 外接圆的半径为斜边的一半 formula_25 直角三角形的任一股可以用内切圆半径和另一股长度表示： formula_26 性质. 一三角形formula_27，其各边为formula_28、formula_29、面积formula_30、斜边的高formula_31、外接圆半径formula_32、内切圆半径formula_33、旁切圆半径formula_34, formula_35, formula_36（分别和formula_9, formula_10, formula_11边相切）、中线formula_40, formula_41, formula_42，此三角形为直角三角形若且唯若以下六类的叙述中有任何一个成立。以下的叙述也是直角三角形的性质。各边的比例. 锐角的三角函数可以用直角三角形各边的比例来定义。针对一特定锐角，可以绘制一直角三角形，各边分别是此锐角的对边、邻边及斜边。所有有相同大小锐角的直角三角形都为相似形，因此依照上面的定义，各边的比例只和此锐角的角度有关。若一角度formula_68，其对边、邻边及斜边分别是formula_9, formula_10及formula_31，则其三角函数为： formula_72 特殊的直角三角形. 特定角度的三角函数可以计算其精确值，因此对应直角三角形的各边比例也可以得知。例如像30°-60°-90°三角形，可以用来计算角度为π/6倍数的三角函数，以及45°-45°-90°三角形，可以用来计算角度为π/4倍数的三角函数，这些都属于特殊直角三角形。泰勒斯定理. 泰勒斯定理提到若"A"点是直径的"BC"的一圆上的一点，且不和"B"点及"C"点共点，"ABC"为直角三角形，角"A"为直角。其逆定理为若一三角形内接于一圆，则其斜边长度即为该圆的直径。因此可以推论由直角顶边到斜边的中线（外接圆半径）为斜边的一半。而直角三角形外接圆的半径为直角顶边到斜边的中线长．也是直径的一半。中线. 直角三角形的中线长和内切圆半径满足以下的公式: formula_73 因为直角三角形斜边的中线长是斜边的一半，会将直角三角形分为二个等腰三角形。不同平均和黄金比例的关系. 令formula_74、formula_75和formula_47是二个正整数formula_9和formula_10（formula_79）的调和平均、几何平均及算术平均。若一直角三角形的二股为"formula_74"和"formula_75"，其斜边为"formula_47"，则 formula_83 及 formula_84 其中formula_85为黄金比例formula_86 其他性质. 若长度为formula_87及formula_88，通过顶点的线段，将斜边分为三等分，则:pp. 216-217 formula_89。除直角三角形以外的三角形都可以找到三个相异的内接正方形，但直角三角形只能找到二个相异的内接正方形。令formula_31和formula_91（formula_92）为一斜边长为formula_11的直角三角形的二个内接正方形边长，则 formula_94 直角三角形的周长等于内切圆及三个旁切圆的半径和。

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