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角平分线定理

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（内）角平分线定理是一个平面几何定理：三角形一角的内角平分线分割对边为两段，两段的长度之比等于两条邻边的长度之比。反过来，有（内）角平分线逆定理：把三角形一边分割为长度之比等于邻边长度之比的两段，则经过分割点与对角顶点的直线为对角的内角平分线。以上两条定理见于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，属于平面几何最基本的定理之列。类似地，存在外角平分线定理和外角平分线逆定理。前者指的是：三角形一角的外角平分线与对边所在的直线相交，交点到对边上两顶点的距离之比等于两条邻边的长度之比。后者指的是：三角形一边的延长线上有一点到该边上两顶点的距离之比等于另外两边的长度之比，则经过该点与对角顶点的直线为对角的外角平分线。内、外角平分线定理（及逆定理），合称角平分线定理（及角平分线逆定理），又称角平分线性质。历史. 内角平分线定理及其逆定理出现在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》的第六卷命题三。至于外角平分线定理及其逆定理，古希腊数学家帕普斯直接采纳了该命题的结论，但没有给出证明。近代苏格兰数学家将内、外角平分线定理视为两个命题，而英国数学家奥古斯塔斯·德摩根、苏联数学家等则视二者为一统的角平分线定理。证明. 内、外角平分线定理及逆定理均有多种证明方法。以下列出欧几里得《几何原本》采用的思路，以及将该思路推广至外角平分线的证法。内角平分线. 在 formula_1 中，在 formula_2 边上任取一点 formula_3 。过点 formula_4 做 formula_5 的平行线，与 formula_6 的延长线相交于点 formula_7 。 formula_8 formula_9 formula_10 formula_11 formula_12formula_13formula_14 证内角平分线定理 formula_15formula_16formula_17formula_16formula_19 为等腰三角形formula_16formula_21formula_16formula_23 证内角平分线逆定理 formula_24formula_16formula_19 为等腰三角形formula_16formula_17formula_16formula_15 外角平分线. 在 formula_1 中，令 formula_32 。在 formula_33 的延长线上取一点 formula_3 。过点 formula_4 做 formula_5 的平行线，与 formula_37 边相交于点 formula_7 。在 formula_37 的延长线上任取一点 formula_40 。 formula_41 formula_9 formula_43formula_13formula_14 证外角平分线定理易证得，三角形外角平分线与对边直线的交点，必定落在较短的邻边的一侧。 formula_46formula_16formula_17formula_16formula_19 为等腰三角形formula_16formula_21formula_16formula_23 证外角平分线逆定理易证得，三角形一边所在直线上符合要求的点，必定落在较短的邻边的一侧。 formula_24formula_16formula_19 为等腰三角形formula_16formula_17formula_16formula_46 应用. 角平分线性质有广泛的应用。其中一个关系相当紧密的应用是，证明平面上到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是一个圆。该圆即阿波罗尼奥斯圆。

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