误差函数
在数学中，误差函数（）是一个特殊函数，符号formula_1。误差函数在概率论，统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下：
formula_2
分类.
互补误差函数，记为 erfc，在误差函数的基础上定义：
formula_3
虚误差函数，记为 "erfi"，定义为：
formula_4
复误差函数，记为"w"("z")，也在误差函数的基础上定义：
formula_5
词源.
误差函数来自测度论，后来与测量误差无关的其他领域也用到这一函数，但仍然使用误差函数这一名字。
误差函数与标准正态分布的积分累积分布函数formula_6的关系为
formula_7
性质.
误差函数是奇函数：
formula_8
对于任何 复数 "z":
formula_9
其中 formula_10 表示 "z"的 复共轭。
复平面上，函数 "ƒ" = exp(−"z"2) 和 "ƒ" = erf("z") 如图所示。粗绿线表示 Im("ƒ") = 0，粗红线表示 Im("ƒ") 0。细绿线表示 Im("ƒ") = constant，细红线表示 Re("ƒ") = constant0。
在实轴上， "z" → ∞时，erf("z") 趋于1，"z" → −∞时，erf("z") 趋于−1 。在虚轴上， erf("z") 趋于 ±i∞。
泰勒级数.
误差函数是整函数，没有奇点（无穷远处除外），泰勒展开收敛。
误差函数泰勒级数：
formula_11
对每个复数 "z"均成立。
上式可以用迭代形式表示：
formula_12
误差函数的导数：
formula_13
误差函数的 不定积分为：
formula_14
逆函数.
逆误差函数 可由 麦克劳林级数表示：
formula_15
其中， "c"0 = 1 ，
formula_16
即：
formula_17
逆互补误差函数定义为：
formula_18
渐近展开.
互补误差函数的渐近展开，
formula_19
其中 (2"n" – 1)!! 为 双阶乘，"x"为实数，该级数对有限 "x"发散。对于formula_20 ，有
formula_21
其中余项用以 大O符号表示为
formula_22 as formula_23.
余项的精确形式为：
formula_24
对于比较大的 x, 只需渐近展开中开始的几项就可以得到 erfc("x")很好的近似值。
连分式展开.
互补误差函数的连分式展开形式：
formula_25
formula_26 (最大误差： 5·10−4)
初等函数近似表达式.
其中， "a"1 = 0.278393, "a"2 = 0.230389, "a"3 = 0.000972, "a"4 = 0.078108
formula_27 (最大误差：2.5·10−5)
其中， "p" = 0.47047, "a"1 = 0.3480242, "a"2 = −0.0958798, "a"3 = 0.7478556
formula_28 (最大误差： 3·10−7)
其中， "a"1 = 0.0705230784, "a"2 = 0.0422820123, "a"3 = 0.0092705272, "a"4 = 0.0001520143, "a"5 = 0.0002765672, "a"6 = 0.0000430638
formula_29 (最大误差： 1.5·10−7)
其中， "p" = 0.3275911, "a"1 = 0.254829592, "a"2 = −0.284496736, "a"3 = 1.421413741, "a"4 = −1.453152027, "a"5 = 1.061405429
以上所有近似式适用范围是： "x" ≥ 0. 对于负的 "x", 误差函数是奇函数这一性质得到误差函数的值， erf("x") = −erf(−"x").
另有近似式：
formula_30
其中，
formula_31
该近似式在0或无穷的邻域非常准确，"x"整个定义域上，近似式最大误差小于0.00035，取 "a" ≈ 0.147 ，最大误差可减小到0.00012。
逆误差函数近似式:
formula_32
数值近似.
下式在整个定义域上，最大误差可低至 formula_33：
formula_34
其中，
formula_35
formula_36
与其他函数的关系.
误差函数本质上与标准正态累积分布函数formula_6是等价的，
formula_38
可整理为如下形式：
formula_39
formula_6的逆函数为正态分位函数，即函数，
formula_41
误差函数为标准正态分布的尾概率的关系为，
formula_42
误差函数是米塔-列夫勒函数的特例，可以表示为合流超几何函数，
formula_43
误差函数用正则Γ函数P和 不完全Γ函数表示为
formula_44
formula_45 为 符号函数.
广义误差函数.
广义误差函数为：
formula_46
其中，"E"0("x")为通过原点的直线， formula_47。"E"2("x") 即为误差函数 erf("x")。
"x" > 0时，广义误差函数可以用Γ函数和 不完全Γ函数表示，
formula_48
因此，误差函数可以用不完全Γ函数表示为：
formula_49
互补误差函数的迭代积分.
互补误差函数的迭代积分定义为：
formula_50
可以展开成幂级数：
formula_51
满足如下对称性质：
formula_52
和
formula_53
生成维基百科快照图片，大概需要3-30秒！
如果网站内容有侵犯您的版权
请联系：pinbor@iissy.com
请联系：pinbor@iissy.com
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.