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杜哈梅积分

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在振动理论中，杜哈梅积分（Duhamel's integral）是求解线性系统在任意外载激励下响应的一种方法。概要介绍. 问题背景. 受随时间变化的外载"p"("t")和粘性阻尼作用下的线性单自由度（SDF）系统的运动方程是一个二阶常微分方程，可写为 formula_1 其中"m"为等效振子的质量，"x"代表系统振幅，"t"代表时间，"c"是粘性阻尼系数，"k"是系统刚度。若初始静止于平衡位置的系统在"t"=0时刻受到一个单位冲击载荷作用，即"p"("t")是一个狄拉克δ函数"δ"("t")，formula_2，可以解得系统响应（称为"单位脉冲响应函数"）为 formula_3 其中formula_4称为系统的阻尼比，formula_5是系统在无阻尼状态下振动的固有圆频率，formula_6是系统在当前存在的阻尼"c"作用下的实际振动圆频率。推广到任意时刻"τ"时受到冲击载荷formula_7作用的脉冲响应为 formula_8，formula_9 结论导出. 将任意载荷"p"("t")视为一系列脉冲激励的迭加： formula_10 那么根据线性性质可知，系统的响应同样可以表示成对这一系列脉冲激励的响应函数的迭加： formula_11 在formula_12时，连续求和转化为积分，此时上面的等式是严格成立的 formula_13 将"h"("t"-"τ")的表达式代入即得杜哈梅积分的一般形式： formula_14

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