有序对

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有序对

有序对在数学中，有序对是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”（第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影）。带有第一个元素"a"和第二个元素"b"的有序对通常写为("a", "b")。符号("a", "b")也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号formula_1。一般性. 设("a"1, "b"1)和("a"2, "b"2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为： formula_2 有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序"n"-元组（"n"项的列表）。例如，有序三元组 ("a,b,c")可以定义为("a", ("b,c"))，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。有序对的集合论定义. 诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义： formula_3 他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透过集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）标准Kuratowski定义. 在公理化集合论中，有序对("a","b")通常定义为库拉托夫斯基对： formula_4 陈述“"x"是有序对"p"的第一个元素”可以公式化为 formula_5 而陈述“"x"是"p"的第二个元素”为 formula_6 注意这个定义对于有序对"p" = ("x","x") = { {"x"}, {"x","x"} } = { {"x"}, {"x"} } = { {"x"} }仍是有效的；在这种情况下陈述(∀ "Y"1 ∈ "p", ∀ "Y"2 ∈ "p" : "Y"1 ≠ "Y"2 → ("x" ∉ "Y"1 ∨ "x" ∉ "Y"2))显然是真的，因为不会有"Y"1 ≠ "Y"2的情况。变体定义. 上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果("a","b")=("x","y")则"a"="x"且"b"="y"）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义 “逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一个缺点，它的特征性质的证明会比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，这将意味着2是对 (0,0)short。证明有序对的特征性质. Kuratowski对：证明：("a,b")K = ("c,d")K当且仅当"a"="c"且"b"="d"。 "仅当：" 如果"a"="b"，则 ("a,b")K = = { {"a"} }，且 ("c,d")K = = { {"a"} }。所以{"c"} = {"a"} = {"c,d"}，或"c=d=a=b"。如果"a"≠"b"，则 = 。如果{"c,d"} = {"a"}，则"c=d=a"或 = = = { {"a"} }。但这样就会等于，继而"b = a"，跟先前的假设矛盾。如果{"c"} = {"a,b"}，则"a=b=c"，这矛盾于"a"≠"b"。所以{"c"} = {"a"}，即"c=a"，且{"c,d"} = {"a,b"}。并且如果"d=a"，则{"c,d"} = {"a,a"} = {"a"}≠{"a,b"}。所以"d=b"。所以同样有"a=c"且"b=d"。 "当：" 反过来，如果"a=c"并且"b=d"，则显然 = 。所以 ("a,b")K = ("c,d")K。逆对： ("a,b")reverse = = = ("b,a")K。如果 ("a,b")reverse = ("c,d")reverse，则 ("b,a")K = ("d,c")K。所以"b=d"且"a=c"。反过来，如果"a=c"和"b=d"，则显然 = 。所以 ("a,b")reverse = ("c,d")reverse。 Quine-Rosser定义. Rosser（1953年）扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设formula_7是自然数的集合，formula_8是formula_7在formula_10内的相对差集，并定义： formula_11 φ("x")包含在"x"中所有自然数的后继，和"x"中的所有非数成员。特别是，φ("x")不包含数0，所以对于任何集合"A"和"B"，formula_12。以下是有序对 ("A","B")的定义： formula_13 提取这个对中那些不包含0的所有元素，然后再还原formula_14的作用，就得出了"A"。类似的，"B"可以通过提取这个对的包含0的所有元素来复原。有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一个函数（定义为有序对的集合），有只比序对的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。 Morse定义. Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那样，定义投影为集合的有序对。接着，他"重定义"对 ("x","y")为 formula_15 这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对组成的集合并且 formula_16 这便允许了定义以真类为投影的有序对。

等价关系

全序关系

最小上界

上界和下界

最大下界

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方法 (电脑科学)

建筑材料

问题

有界格

有补格