整环
整环
整环（Integral domain），又译作整域，是抽象代数中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环formula_1。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。
整环也可以定义为理想formula_1是素理想的交换环，或交换的无零因子环。
形式定义.
设formula_3是一个交换环，存在formula_4，formula_5（0为加法单位元），使得
formula_6（存在乘法单位元）
并且对任意的formula_7，如果formula_8，那么或者formula_9，或者formula_10。用数学方式表示为：
formula_11（没有零因子）
就称其为整环:19。
定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的消去律替代：如果formula_12，并且formula_13，那么formula_14:119。用数学方法表示就是：
formula_15
formula_21
整除、素元、既约元.
在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质。
"a"与"b"是"R"中的两个元素，定义"a"整除"b"或"a"是"b"的约数或"b"是"a"的倍数，当且仅当存在"R"中的一个元素"x"使得"ax" = "b"。
整除关系满足传递性，即"a"整除"b"，"b"整除"c"推出"a"整除"c"。"a"整除"b"，则"a"整除"b"的所有倍数。"a"的两个倍数的和与差仍是"a"的倍数。
1的约数称为"R"的可逆元。可逆元整除所有元素。
若"a"整除"b"并且"b"整除"a"，则称"a"与"b"相伴。"a"与"b"相伴当且仅当存在可逆元"u"使得"au" = "b"。
非可逆元"q"称为既约元，如果"q"不能写成两个非可逆元的乘积。
如果"p"不是零元或可逆元，且对任意"a，b"，如果"p"整除"ab"可推出"p"整除"a"或"p"整除"b"，则称"p"为素元。
这两个定义是整数环中素数的推广。如果"p"是素元，那么"p"生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元，但反过来则只有当"R"是唯一分解环才正确。
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