定理
定理
定理（）是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些formula_1是formula_2，某些formula_1是formula_4，就不能算是定理）。
猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。猜想是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理。
如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
在命题逻辑，所有已证明的叙述都称为定理。
结构.
定理一般都有许多条件。然后有结论——一个在条件下成立的数学叙述。通常写作「若条件，则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
逆定理.
若存在某叙述为formula_5，其逆叙述就是formula_6。逆叙述成立的情况是formula_7，否则通常都是倒果为因，不合常理。若果叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。
逻辑中的定理.
逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰
一个定理是一个含有由建立于语言集合formula_8上的命题（formula_8-命题）组成的非空集合。
这个定理（或这个命题集合）我们记作formula_10，这些建立于语言集合formula_8上的命题必须符合如下属性：
对所有在formula_10中的命题formula_13，如果formula_14，那么formula_15。
比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合formula_8上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理formula_10的扩展（extension），前提是该定理包含定理formula_10。
有一个命题集合formula_19，我们将一个包含formula_19的集合记作formula_21，那么formula_22 。显而易见formula_23，所以formula_21是一个定理。比如我们有一个集合formula_25，formula_25有三个基于语言formula_8上的命题，其中formula_28，formula_29是常数符号，formula_30是函数符号。三个命题如下：
formula_31，
formula_32，
formula_33。
那么如果有formula_34，则formula_35是formula_25的定理。当然，如果formula_19和formula_38是两个命题集合且满足formula_39，那么formula_40。
我们说一个定理formula_10是完整的（Complete），当且仅当对于和formula_10一样构建在同样语言集合上的所有命题formula_13，要么formula_15，要么formula_45。
注意：这个概念不能和定理formula_10的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理formula_10中的永真命题是递推可枚举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。
不是所有的定理是完整的。比如formula_48一个空集合formula_49的定理是所有真命题集合，但是formula_48不是完整的。假如有命题formula_51，对于formula_52来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说formula_53且formula_54。因此formula_55，所以我们说formula_48不是完整的。
一个定理formula_10称作是稳健的（Consistante），当且仅当formula_58。我们说对所有的解释（Interpretation）formula_59，formula_60是一个定理，并且formula_60既是稳健的又是完整的。
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