舒尔正交关系

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舒尔正交关系

舒尔正交关系舒尔正交关系（）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 "SO"(3)。此关系可借由舒尔引理证明。有限群. 令 formula_1 是一个 |"G"| 阶（即 "G" 有 |"G"| 个元素）有限群 formula_2 的一个不可约矩阵表示 formula_3 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 formula_3 是酉的： formula_5 这里 formula_6 是表示 formula_3 的（有限）维数。正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是 formula_8 这里 formula_9 是 formula_10 的复共轭，求和遍及 "G" 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 formula_11，则克罗内克函数 formula_12 是单位；如果 formula_3 与 formula_14 不等价则formula_12为零。其他两个克罗内克函数则要求行与列的指标必须相等（formula_16 和 formula_17）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出 formula_18 对 formula_19 ，此式对任何不等于单位表示的不可约表示 formula_20成立。例子. 三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 formula_21（对称群）。这个群同构于点群 formula_22，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（"l" = 2）。在 formula_21 情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 formula_24 而在 formula_22 情形通常写成 formula_26。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素 formula_27 元素 (1,1) 的正规化为： formula_28 同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性： formula_29 类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。直接推论. 矩阵的迹是对角矩阵元素之和， formula_30. 所有迹的集合 formula_31 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 formula_32 formula_33. 利用这种记号我们可写出多个特征标公式： formula_34 这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及 formula_35 这帮助我们确认不可约表示 formula_3 在具有特征标 formula_37 的可约表示 formula_38 中包含的次数。例如，如果 formula_39 这个群的阶是 formula_40 则 formula_41 在给定“可约”表示 formula_38 中包含的次数是 formula_43 关于群特征表参见特征标理论。紧群. 有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。每个紧群 formula_44 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 formula_45。设 formula_46 是 formula_44 的不可约表示的一个完备集合，设 formula_48 是表示 formula_49 的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分 1) 如果 formula_50 则： formula_51 2)如果 formula_52 是表示空间 formula_49 的一个正交规范基，则： formula_54 这里 formula_55 是 formula_49 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。例 formula_57. 一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： formula_58。界限是 formula_59 以及 formula_60。体积元素 formula_61 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） formula_62 的解析形式。例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 formula_63，而 n, ψ 参数化给出权重t formula_64，其中 formula_65。可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的： formula_66 简记成 formula_67 正交关系具有形式 formula_68 群的体积是 formula_69 我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（-- ）formula_70，它们的维数是 formula_71。故 formula_72 它们满足 formula_73 参考文献. 任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：

KOI-8

阿尔卑斯山的少女

氯

群表示论

白羊座

亚拉巴马州

额我略七世

KOI8-R

KOI8-U

香港湿地公园

保罗·科埃略

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