三角不等式
三角不等式
三角不等式是数学上的一个不等式，表示从A到B再到C的距离永不少于从A到C的距离；亦可以说是两项独立物件的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外，还适用于其他数学范畴及日常生活中。
几何.
标量.
在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作formula_1。
当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右）
现在，我们有三角形ABC。延长formula_2至点D，并使formula_3，联结formula_4。
那么，三角形BCD为等腰三角形，所以formula_5。记它们均为formula_6。
根据欧几里得第五公设，角formula_7也就是formula_8大于角formula_6（formula_10，也就是formula_11）；
由于角formula_7对应边formula_13，角formula_6对应边formula_15，因此formula_16（大角对大边，命题19）。
又由于formula_17，所以formula_18，即证。
如果我们将该式左右各减去formula_19，便能得到formula_20，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。
当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时formula_21，而a, b, c为三角形三边的长。
向量.
用向量的写法，这个不等式可以写成：
formula_22
上式和标量的写法明显是等价的。
考虑到formula_23，该式也可以写成：formula_24，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。
如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。
还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量formula_25的方向向量为formula_26，向量formula_27的方向向量为formula_28，
那么因为formula_23，得向量formula_30的方向向量为formula_31。
因此，formula_32，formula_33。
所以，formula_34。
而formula_35，formula_36，
两者相减再配方，得到formula_37，该式实际上是formula_38的值。
当且仅当formula_39时，该式的值为0，而此时我们可以推出formula_40，这说明formula_41和formula_42、formula_43和formula_44都是平行的。而由于formula_41，也就是向量formula_25的终点和formula_42，也就是向量formula_27的起点是相同的，显然formula_25和formula_27共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用formula_43和formula_44平行也一样能够推出formula_25和formula_27共线。
其他任何情况，也就是formula_55时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。
将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。
实数.
在实数中，此式依然成立：formula_56。
证明如下：
考虑到实数的平方必然是非负数，将两边平方，使它剩下一套绝对值符号：
formula_57
formula_58
对于formula_59（即a, b彼此异号），formula_60；
对于formula_61（即a, b彼此同号），formula_62。
像几何中的情况一样，该式的推论为：formula_63。
反方向.
在闵考斯基时空，三角不等式是反方向的：
||"x" + "y"|| ≥ ||"x"|| + ||"y"|| 对所有 "x", "y" formula_64 "V"，使得||"x"|| ≥ 0, ||"y"|| ≥ 0 和 "tx" "ty" ≥ 0
这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。
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