化圆为方
化圆为方
化圆为方是古希腊数学里尺规作图领域当中的命题，和三等分角、倍立方问题被并列为尺规作图三大难题。其问题为：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为formula_1的线段。
进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家林德曼证明了formula_1为超越数，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。
如果放宽尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的问题是可行的。如借助西皮阿斯的，阿基米德螺线等。
背景简介.
尺规作图法.
在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：
直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：
尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。
问题叙述.
化圆为方问题的完整叙述是：
如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度formula_3倍的线段。
不可能性的证明.
圆周率的超越性.
化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出formula_3的长度。这等价于从1开始作出formula_1。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得
formula_6
然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率formula_1来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而formula_1不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。
林德曼证明formula_1的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数formula_10在有理数域formula_11上线性独立，那么formula_12也在formula_11上线性独立。反设formula_1是代数数，那么formula_15也是代数数。考虑代数数0和formula_15，由于formula_15是无理数，所以它们在formula_11上线性独立。然而formula_19和formula_20分别是1和-1，并非在formula_11上线性独立，矛盾。这说明formula_1不是代数数，而是超越数。
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