算术基本定理
算术基本定理
算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。
例如：formula_1，formula_2，formula_3。
算术基本定理的内容由两部分构成：
算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。
定理陈述.
formula_4. 其中 formula_5 而且 formula_6 是一个质数，formula_7.
这种表示的方法存在，而且是唯一的。
证明.
算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数formula_8，则不是 formula_9，就是formula_10。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。
存在性.
用反证法：假设存在大于 formula_11 的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为 formula_12。
formula_12 不可为质数，因为 formula_14 可被写成质数的乘积。因此 formula_12 一定是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于 formula_11 的自然数的积。设
formula_17 ，则根据假设，由于 formula_12 是最小的不能被写成质数乘积的自然数，所以 formula_19 和 formula_20 都能被写成质数的乘积。然而 formula_21 也可以写成质数的乘积，由此产生矛盾，故大于 formula_11 的自然数必可写成质数的乘积。
唯一性.
欧几里得引理：若质数formula_8，则不是 formula_9，就是formula_10。
引理的证明：若formula_26 则证明完毕。若formula_27，那么两者的最大公约数为1。根据贝祖等式，存在formula_28 使得formula_29。于是formula_30。
由于formula_8，上式右边两项都可以被"p"整除。所以formula_10。
再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设formula_12是其中最小的一个。
首先formula_12不是质数。将formula_12用两种方法写出：formula_36 。根据引理，质数formula_37 ，所以formula_38 中有一个能被formula_39整除，不妨设为formula_40。但formula_40也是质数，因此formula_42 。所以，比formula_12小的正整数formula_44也可以写成formula_45 。这与"formula_12" 的最小性矛盾！
因此唯一性得证。
相关.
在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 formula_47 之中，只有少数几个能满足，最大的一个 formula_48 是 formula_49。例如，formula_50可以以两种方式在 formula_51 中表成整数乘积：formula_52 和 formula_53。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。
欧几里得在普通整数 formula_54 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 formula_55 中得出并证明，只要不计四个可逆元素 formula_56 之作用，那么这个唯一分解定理在 formula_55 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。
高斯类数.
对于二次方程：formula_58，它的根可以表示为：
formula_59
因为负数不能开平方，formula_60的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：formula_61
formula_62
两个复数解为:
formula_63
formula_64哪个formula_65值可以得到唯一分解定理？
formula_66皆可得到定理，但当formula_67时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。
formula_68；formula_69。在高斯时代，已知有9个formula_65使得formula_64所产生的数有唯一因子分解（formula_72，formula_73如上面指出那样取值）。
formula_74高斯认为formula_65的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。
1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个formula_65值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。
为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。
参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。
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