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质数定理

质数定理在数论中，素数定理（）描述素数在自然数中分布的渐进情况，给出随著数字的增大，质数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数"x"，定义π("x")为素数计数函数，亦即不大于"x"的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π("x")的增长。以下是第一个这样的估计。 formula_1 其中 ln "x" 为 "x" 的自然对数。上式的意思是当 "x" 趋近无限，π("x")与"x"/ln "x"的比值趋近 1。但这不表示它们的数值随著 "x" 增大而接近。下面是对π("x")更好的估计： formula_2，当"x" 趋近∞。其中formula_3（对数积分），而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。叙述. 定义 π("x") 为素数计数函数，也就是小于等于"x" 的质数个数。例如 π(10)=4，因为共有 4 个质数小于等于 10，分别是 2、3、5、7。质数定理的叙述为：当 "x" 趋近无限，π("x") 和 formula_4 的比值趋近 1。其数学式写做 formula_5。浅白的说，当 "x" 很大的时候，π("x") 差不多等于 formula_4。该定理被认为是质数的渐进分布定律，以渐进符号可简化为 formula_7。注意到，上式并不是说指随著 "x" 趋近无限，formula_8 与 formula_4的差趋近于 0。而是随著 "x" 趋近无限，formula_8 与 formula_4的相对误差趋近于 0。因此，质数定理也可以被想像成描述从正整数中抽到素数的概率：从不大于 n 的正整数中随机选出一个数，它是素数的概率大约是formula_12。质数定理有一个等价数是关于第 n 个素数 formula_13的渐近估计式 formula_14 关于 "π"("x")、"x" / ln "x" 和 li("x") 的数值. 下表比较了π("x")，"x"/ln "x"和Li("x")：历史. 1797年至1798年间，法国数学家勒让德根据上述的质数表猜测，formula_8大约等于 formula_16，其中formula_17、formula_18是未知的函数。勒让德于1808年出版一本关于数论的书的第二版，书中他给出更精确的猜测：formula_19，formula_20。根据高斯自己在1849年的回忆，他在15岁或16岁(1792或1793年)的时候就已经考虑过类似的问题了。1832年，狄利克雷经过跟高斯的交流之后，给出了一个新的逼近函数 formula_21，(事实上他是用一个有点不一样的级数表达式)。勒让德和狄利克雷的式子皆等价于现在的版本，但如果考虑逼近式与 formula_8 的差，而不是比值的话，狄利克雷的式子是准确许多的。俄国数学家切比雪夫参考了欧拉在1731年的工作，引进了定义在实数轴上黎曼ζ函数，企图证明质数分布的渐进式，并将他所得到的结果写成两篇论文，分别在1848和1850年发表。切比雪夫可以证明，如果formula_23存在且有限，则它一定是1。此外，在没有假设任何结果之下，他也证明当 x 足够大，formula_24会界在两个很靠近 1 的数字之间。虽然切比雪夫的论文没办法证明质数定理，但它对 formula_8 已经可以推论出伯特兰-切比雪夫定理：对任何大于formula_26的正整数formula_27，存在一个质数介于formula_27和formula_29之间。 1859年，黎曼提交了一篇关于质数分布的非常重要的报告《》，这也是黎曼在这个领域的唯一一篇文章。黎曼在报告中使用了创新的想法，将formula_30函数的定义解析延拓到整个复数平面，并且将质数的分布与formula_30函数的零点紧密的联系起来。因此，这篇报告是历史上首次用复分析的方法研究实函数 formula_8。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先后独立给出证明。两个证明延著黎曼的思路继续拓展，且都使用复分析的工具，其中的关键步骤是证明如果复数formula_33可以写成 formula_34 的形式，且 formula_35，则 formula_36。进入20世纪之后，阿达马和普桑证明的定理经常被称作质数定理，定理的其他不同证明也陆陆续续被发现，这之中包括1949年阿特勒·塞尔伯格和艾狄胥·帕尔发现的「初等证明」。原本的证明是既冗长，又复杂，于是有很多后面发现的证明使用了让证明变得比较简短，但却变得让人比较难以消化。1980年，美国数学家发现了一个简洁的证明，这可能是目前已知最简单的证明。不过，证明中使用了柯西积分公式，因此一般不被视为是为初等的证明。因为黎曼ζ函数与formula_8关系密切，关于黎曼formula_30函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家海里格·冯·科赫证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 formula_39 至于大O项的常数则还未知道。#重定向 -{H|zh-cn:重定向;zh-tw:重新导向;}- 初等证明. 素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。

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