五次方程 -{H|zh-hans:重定向;zh-hant:重新导向;}--{H|zh-cn:字符;zh-tw:字元;}--{H|zh-hans:文件; zh-hant:档案;}--{H|zh-hans:快捷方式; zh-hant:捷径;}--{H|zh-hans:项目;zh-hant:专案;zh-tw:计划;zh-hk:计划;zh-mo:计划;}--{H|zh-cn:计算机; zh-sg:电脑; zh-tw:电脑;}- 五次方程是一种最高次数为五次的多项式方程。本条目专指只含一个未知数的五次方程（一元五次方程），即方程形如 formula_1 其中，"a"、"b"、"c"、"d"、"e"和"f"为复数域内的数，且"a"不为零。例如： formula_2 二次方程很早就找到了公式解。经过数学家们的不断努力，三次方程及四次方程在16世纪中有了解答，但是之后很长的一段时间里没有人知道五次方程是否存在公式解。直到1824年，保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔证明了一般的五次方程，不存在统一的根式解（即由方程的系数通过有限次的四则运算及根号组合而成的公式解）。认为一般的五次方程没有公式解存在的看法其实是不正确的。事实上，利用一些超越函数，如Θ函数或戴德金η函数即可构造出五次方程的公式解。另外，若只需求得数值解，可以利用数值方法（如牛顿法）得到相当理想的解答。 证明一般五次及其以上的一元多项式方程无根式解的人是埃瓦里斯特·伽罗瓦，他巧妙地利用群论处理了上述的问题。 布灵·杰拉德正规式. 对于一般的五次方程式 formula_3 可以借由以下的多项式变换 formula_4 得到一个formula_5的五次多项式，上述的转换称为（Tschirnhaus transformation），借由特别选择的系数formula_6，可以使formula_7,formula_8,formula_9 的系数为formula_10，从而得到如下的方程式： formula_11 以上的化简方法是由所发现，后来也独立发现了此法，因此上式称为布灵·杰拉德正规式（Bring-Jerrard normal form）。 其步骤如下： 首先令 formula_12 可消去四次方项，得到 formula_13； 其中， formula_14 formula_15 formula_16 formula_17 接下来，令formula_18， 得到 formula_19， 再令formula_20， 求得 formula_21； formula_22 第三步，利用契尔恩豪森想到的方法，令： formula_23， 代入 formula_24， 得到 formula_25， 再令formula_26， 则得formula_27， 若令formula_28， 则formula_29，formula_30可由以下两个方程解得： formula_31 formula_32 formula_33 formula_34 formula_35 若以函数的观点来看，方程 formula_36 的解有两个自变数 formula_37, 和 formula_38。 若再令 formula_39 则方程式可以进一步化简为如下形式： formula_40 它的解 formula_41 是单一变数 formula_42 的函数。 特殊五次方程的求根公式. 虽然一般的五次方程不存在根式解，但是对于某些特殊的五次方程，满足某些条件后还是有根式解的。 formula_43，当formula_44时， formula_45 formula_46 formula_47 formula_48 formula_49 formula_50，当formula_51时， formula_52 formula_53 formula_54 formula_55 formula_56 型式2. 其中 formula_57 formula_58 formula_59 formula_60 型式3. formula_61，当formula_44时， formula_63 formula_64 formula_65 formula_66 formula_67 通过模椭圆函数求解. 在 Tschirnhaus 变换的帮助下，所有五次方程都可以在初等数学函数表达式的帮助下转换为 Bring-Jerrard 形式。 Bring-Jerrard 形式包含五次项、线性项和绝对项。 但是四次、三次和二次项在这种形式的方程中根本不存在。 Bring-Jerrard 形式的广义椭圆解将在以下段落中讨论。根据数学家 Glashan、Young 和 Runge 发现的参数化公式，可以从方程和实解中导出以下一对公式: formula_68 formula_69 formula_70 这对公式对所有值 0 < y < 2 都有效。对于要用这种方法求解的 Bring-Jerrard 的一般形式，需要一个椭圆键。 这个椭圆密钥可以根据 卡尔·雅可比 (Carl Gustav Jakob Jacobi) 使用 Θ函数 生成: formula_71 formula_69 formula_70 formula_74 现在在下面精确地解释这个解决过程。 本段上式的等式刻度的右侧取值 w: formula_75 必须为值 y 求解该方程。 这需要一个椭圆模函数表达式，在这种情况下包括 Jacobi theta 函数: formula_76 此解表达式与以下表达式一致: formula_74 椭圆函数的定义和恒等式. 现在必须定义此表达式中指定的函数。 所示的主要 theta 函数具有以下总和定义和以下等效乘积定义: formula_78 formula_79 字母 q 描述了数学椭圆 nome 函数: formula_80 内商中显示的字母 K 表示完整的第一类 椭圆积分: formula_81 formula_82 缩写 ctlh 表示函数 "双曲双扭线余切函数" (Hyperbolic lemniscate cotangent)。 而缩写 aclh 表示函数 "双曲双扭线 面积余弦函数" (Hyperbolic lemniscate Areacosine)。 这些函数与 卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss) 建立的 双扭线函数 (Lemniscate elliptic functions) sl 和 cl 在代数上相关，并且可以使用这两个函数来定义： formula_83 formula_84 formula_85 formula_86 formula_87 formula_88 formula_89 formula_90 formula_91 formula_92 字母G代表高斯常数，可以用伽马函数用刚才所示的方式表示。 连分数. 连分数是拉马努金 (Rogers-Ramanujan continued fraction) 允许以 Bring-Jerrard 形式对广义五次方程进行非常紧凑的解。 这个连分数函数和交替连分数可以定义如下： formula_93 formula_94 formula_95 formula_96 formula_97 括号，每个都有两个条目，形成所谓的 Pochhammer-符号 (Pochhammer symbol) 并因此代表产品系列。 基于这些定义，可以为实际解建立以下压缩精确解公式: formula_71 formula_99 formula_100 formula_101 准确的例子. 分配给非初等数学实解的第一个自然数 w 是数字 w = 3: formula_102 formula_103 formula_104 formula_105 formula_106 formula_107 与此类似，数字 w = 7 仅分配给非基本解: formula_108 formula_109 formula_110 formula_111 formula_112 formula_113