线性无关
线性无关
!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|线性空间与线性变换
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在线性代数里，向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线-{}-性无关或线-{}-性独立（--
），反之称为线性相关（--
）。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
定义.
假设V是在域K上的向量空间。如果formula_1是V的向量，若它们为"线性相关"，则在域K 中有非全零的元素formula_2，使得
formula_3；
或更简略地表示成，
formula_4。
（注意右边的零是V的零向量，不是K的零元素。）
如果K中不存在这样的元素，那么formula_1是"线性无关"。
对"线性无关"可以给出更直接的定义。向量formula_1"线性无关"，若且唯若它们满足以下条件：如果formula_2是K的元素，适合：
formula_3，
那么对所有formula_9都有formula_10。
在V中的一个无限集，如果它任何一个有限子集都是线性无关，那么原来的无限集也是线性无关。
线性相关性是线性代数的重要概念，因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间，而这组向量则是这向量空间的基。
若有向量组formula_11，其中formula_12，则formula_13。
若有向量组formula_11，其中formula_15，则formula_16。
例子1.
设"V" = R"n"，考虑"V"内的以下元素：
formula_31
则e1、e2、……、en是线性无关的。
证明.
假设"a"1、"a"2、……、"an"是R中的元素，使得：
formula_32
由于
formula_33
因此对于{1, ..., "n"}内的所有"i"，都有"ai" = 0。
例子2.
设"V"是实变量"t"的所有函数的向量空间。则"V"内的函数"et"和"e"2"t"是线性无关的。
证明.
假设"a"和"b"是两个实数，使得对于所有的"t"，都有：
"aet" + "be"2"t" = 0
我们需要证明"a" = 0且"b" = 0。我们把等式两边除以"e""t"（它不能是零），得：
"bet" = −"a"
也就是说，函数"be""t"与"t"一定是独立的，这只能在"b" = 0时出现。可推出"a"也一定是零。
例子3.
R4内的以下向量是线性相关的。
formula_34
证明.
我们需要求出标量formula_35、formula_36和formula_37，使得：
formula_38
可以形成以下的方程组：
formula_39
解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：
formula_40
由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。
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