一元二次方程
一元二次方程
一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。
例如，formula_1，formula_2，formula_3 等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是 formula_4
其中，formula_5是二次项，formula_6是一次项，formula_7是常数项。formula_8是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，formula_8也可以省略不写。另外，一元二次方程式有时会出现复数根。
历史.
古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代数方程式且容许同时有正负根的数学家。
11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作"Liber embadorum"中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。
将其转化为数学语言：解关于formula_10的方程 formula_11
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即formula_12，得 formula_13
在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即formula_14，得 formula_15
然后在方程的两边同时开二次方根，得 formula_16
解法.
阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据formula_17、formula_18、formula_7三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。
一般来说，一元二次方程有两个根。
因式分解法.
把一个关于 formula_10 一元二次方程变形成一般形式 formula_21 后，如果 formula_21 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。
将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。
如果一元二次方程formula_21存在两个实根formula_24，那么它可以因式分解为formula_25。
例如，解一元二次方程formula_26时，可将原方程左边分解成formula_27，所以formula_28，可解得formula_29
公式解法.
对于formula_30，若formula_31，则它的两个不等实数根可以表示为
formula_32；
若formula_33，则它的两个相等实数根可以表示为
formula_34；
若formula_35，则它的两个共轭复数根可以表示为
formula_36。
公式解的证明.
公式解可以由配方法得出。
已知关于 formula_10 的一元二次方程 formula_38
①移项，得：
formula_11；
②二次项系数化为 formula_40，得：
formula_41；
③配方，得：
formula_42，
formula_43；
因为 formula_44，所以
若formula_31，则它的两个不等实数根可以表示为
formula_32；
若formula_33，则它的两个相等实数根可以表示为
formula_34；
若formula_35，则它的两个共轭复数根可以表示为
formula_36。
一般化.
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。
公式中的根式formula_51
应该理解为「如果存在的话，两个自乘后为formula_52的数当中任何一个」。在某些数域中，有些数值没有平方根。
根的判别式.
对于实系数一元二次方程formula_53，formula_54称作一元二次方程根的判别式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：
非实系数一元二次方程.
即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。
一元二次方程的根与系数的关系.
根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。formula_62formula_63
图像解法.
一元二次方程formula_21的根的几何意义是二次函数formula_65的图像（为一条抛物线）与 formula_10 轴交点的坐标，即二次函数的零点。
另外一种解法是把一元二次方程formula_21化为formula_68 的形式。
则方程formula_21的根，就是函数formula_70和formula_71交点的横坐标。
通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。
计算机法.
在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解formula_72可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)
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