满射 满射或盖射（），或称满射函数或映成函数，一个函数formula_1为满射，则对于任意的陪域 formula_2 中的元素 formula_3，在函数的定义域 formula_4 中存在一点 formula_5 使得 formula_6。换句话说，formula_7是满射时，它的值域formula_8与陪域formula_2相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 formula_10 其原像 formula_11 不等于空集合。 例子和反例. 函数formula_12，定义为formula_13，不是一个满射，因为，（举例）不存在一个实数满足formula_14。 但是，如果把formula_15的陪域限制到只有非负实数，则函数formula_15为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数formula_3，我们能对formula_18求解，得到formula_19。 性质. 根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。 若将定义在formula_4上的函数formula_7，视为其图像，即formula_22（集合论经常如此行），则满射与否，不仅是formula_7的性质，而是映射（需要声明陪域）的性质。单射与否可以单凭图像判断，但满射则不同，不能单凭图像判断，因为要知道陪域。 右可逆函数. 函数formula_24称为函数formula_25的右逆，意思是formula_26对formula_2的所有元素formula_3成立。简而言之，formula_15的效果，可以formula_7复原。用文字表示，formula_15是formula_7的右逆，意思是先做formula_15后做formula_7的复合formula_35，等于formula_2上的恒等函数，即不造成任何变化。此处不要求formula_15是formula_7的真正反函数，因为另一次序的复合formula_39，不必是formula_4的恒等函数。换言之，formula_7可以「复原」或「抵消」formula_15，但不必被formula_15复原或抵消。 若函数有右逆，则必为满射。但反之，「每个满射皆有右逆」此一命题，等价于选择公理，故在某些集合论中（例如假设决定公理为真的集合论系统），不必为真。 若formula_25为满射，formula_45为formula_2的子集，则formula_47，即从预象formula_48，可以找回formula_45。 右可消去. 函数formula_25是满射，当且仅当其为：给定任何两个有公共定义域和陪域的函数formula_51，若formula_52，则有formula_53。此性质的敍述用到函数和复合，可以对应推广成范畴的态射和复合。右可消的态射称为或满同态。满射与满态射的关系在于，满射就是集合范畴中的满态射。 范畴论中，有右逆的态射必为满态射，但反之则不然。态射formula_7的右逆formula_15也称为formula_7的。而有右逆的态射称为，是一类特殊的满态射。 作为二元关系. 以formula_4为定义域，formula_2为值域的函数，可以视为两集合之间的的二元关系，因为可将函数与图像等同。此观点下，由formula_4到formula_2的满射，是右唯一而既左全又右全的关系。 定义域不小于陪域. 满射的定义域，必有大于或等于其陪域的基数：若formula_61为满射，则formula_4的元素个数必定至少等于formula_2的元素个数（在基数意义下）。但此结论的证明，需要假定选择公理，以证明formula_7有右逆，即存在函数formula_24使得formula_66对formula_2的任意元素formula_3成立。满足此性质的formula_15必为单射，故由基数大小比较的定义，有formula_70。 特别地，若formula_4和formula_2皆是有限，且两者的元素个数相同，则formula_25是满射当且仅当formula_7为单射。 给定两个集合formula_4和formula_2，以formula_77表示「或者formula_4为空，或者存在由formula_2至formula_4的满射」。利用选择公理，可以证明，formula_81和formula_82两者一起，足以推出formula_83。此为康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的变式。 复合与分解. 两个满射的复合仍是满射：若formula_7和formula_15皆为满射，且formula_15的陪域是formula_7的定义域，则formula_35也是满射。反之，若formula_35为满，则formula_7是满射，但formula_15不必为满射。与右可消去一节一样，从集合范畴的满射，可以推广到一般范畴的满态射。 任何函数都可以分解成一个满射与一个单射的复合：对任意formula_92，都存在满射formula_25和单射formula_94使得formula_95，取法如下：定义formula_2为所有原像formula_97的集合，其中formula_98历遍formula_99的值域。该些原像两两互斥，且划分formula_4。于是，formula_7将每个formula_5映到包含formula_5的原像（此为formula_2的元素），然后formula_15再将formula_2的每个元素（形如formula_97）映到相应的formula_98。则formula_7为满射（因为formula_2中的元素，是原像formula_97，且非空，故有某个formula_112，所以由formula_7的定义有formula_114），而根据formula_15的定义，其为单射。 导出满射和导出双射. 任何函数，若将其陪域限制成值域，则可以视为满射，称为其导出满射。任何满射，若将定义域换成商集，即将函数值相同的参数，折叠成同一个「等价类」，则得到一个双射，其由等价类组成的集合，射去原函数的陪域。以符号表示，每个满射formula_116可以分解成先做一个商映射，再做一个双射。考虑以下等价关系：formula_117当且仅当formula_118。以formula_119表示此等价关系下，formula_120的等价类的集合。换言之，formula_121是formula_7所有原像的集合。以formula_123表示将formula_5映到等价类formula_125的商映射，又设formula_126，定义为formula_127，则formula_128。由定义知，formula_129是满射，而formula_130是双射。 参考文献.