泛代数，也称普适代数学（），研究通用于所有代数结构的理论，而不是代数结构的模型。举个例子，并不是将特殊的个别的群作为个体分别来学习，而是将整个群论的理论作为学习的主题。 基本思想. 从泛代数角度来看，代数是拥有一组运算元的集合A。在A上的n元运算是以n个A的元素为输入并返回一个A的元素的函数。这样，0元运算（空运算）可简单表示为A的一个元素或常数，通常用a表示。一元运算是简单的从A到A的函数，常用置于参数前的符号表示，如~x。二元运算通常用置于参数间的符号表示，如x*y。元数更高或不确定的运算通常用函数符号表示，参数放在括号中，例如f(x, y, z)或f(x1...,xn)。那么，讨论代数的一种方式就是将其称为某formula_1类代数，其中formula_1是自然数的有序数列，表示代数运算的元数。不过也有研究者允许无穷元运算，如formula_3，其中J是无穷指标集，是完全格代数理论中的一种运算。 等式. 定义了运算后，代数的性质由公理进一步定义，在泛代数中通常用恒等式或等式法则的形式。例如二元运算的结合律，可由等式"x" ∗ ("y" ∗ "z") = ("x" ∗ "y") ∗ "z"给出。 簇. 由等式定义的代数结构集合称作簇或等价类。 将研究范围限制在簇，就排除了 等式类研究可看作是模型论的一支，通常处理只有运算的结构（类型中可以有函数的符号，但不能有等式以外的关系的符号）。谈论这种结构的语言只使用等式。 其不包含所有广义代数结构。例如，有序交换群涉及序关系，因此不属于这个范畴。 域类也不属于等式类，因为没有类型能把所有域法则写成等式（域中元素的逆适于所有非零元素，因此不能把逆加入类型中）。 这样限制的一个好处是，泛代数研究的结构可定义在任何具有有限积的范畴中。例如，拓扑群只是拓扑空间范畴中的一个群。 例子. 大多数泛代数系统都是簇的例子，但不总是很明显，因为通常的定义往往涉及量化或不等式。 群. 以群的定义为例。通常，一个群的定义由二元运算*完成，并遵循以下公理： （有人也使用“封闭”公理，即只要"x" ∗ "y"都属于"A"，则"x*y"也属于，但这里称*为二元运算已经暗示了这一点。） 群的这一定义并不直接符合泛代数，因为单位元和逆元素并非纯粹从“对所有”元素普遍成立的等式规律表述，而还涉及存在量词“存在……”。除了二元运算∗，还可指定空运算"e"和一元运算~，~"x"通常写作"x"−1。这样，公理变为： 总结来说，通常的定义有 而按泛代数，则有 关键点是，额外的运算没有增加信息，而是唯一地遵循了群的通常定义，虽然没有唯一指定单位元"e"，但很简单就能证明它是唯一的，每个逆元素也唯一。 泛代数观点非常适合范畴论。例如，在范畴论中定义群对象时，若对象可能不是集合，就必须用到等式法则（在一般范畴中是有意义的），而非量化法则（指单个元素）。此外，逆元和单位元在范畴中被指定为态射。例如，拓扑群中的逆不仅必须逐元素存在，还要给出连续映射（态射）。有人还要求恒等映射也要闭包（上纤维化）。 其他例子. 大部分代数结构都可作为泛代数的例子。 关系代数的例子有半格、格与布尔代数。 基本构造. 假设formula_1类固定。泛代数中有三种基本构造：同态像、子代数与积。 两个代数A、B之间的同态是函数"h": "A" → "B"，使得对A中的每个n元运算"f""A"和对应的B中n元运算"f""B"，都有"h"("f""A"("x"1...,"x""n")) = "f""B"("h"("x"1)...,"h"("x""n"))（若可以看出函数来自哪个代数，则f的上下标就可去掉）。例如，若"e"是常数（空运算），那么 "h"("e""A") = "e""B"。若~是一元运算，那么"h"(~"x") = ~"h"("x")。若∗是二元运算，那么"h"("x" ∗ "y") = "h"("x") ∗ "h"("y")，以此类推。我们可以取代数的同态像"h"("A")。 "A" 的子代数是"A"的子集，对A的所有运算都封闭。某个代数结构集合的积，指的是集合在坐标上定义的运算的笛卡尔积。 动机与应用. 除了统一方法之外，泛代数还给出了深奥的定理以及重要的示例和反例，为新代数研究提供了有用的框架。它可以将为某些代数发明的方法转移到其他类的代数，方法是用泛代数（如果可能的话）重新诠释之，然后将其解释为适用于其他类别的方法。它还澄清了概念；正如J.D.H. Smith所说：“在特定框架中看起来杂乱而复杂的东西，在适当的一般框架中可能会变得简单而明显”。 特别是，泛代数可用于幺半群、环和格的研究。在泛代数之前，许多定理（最知名的是同构基本定理）是在所有类别中分别证明的，但有了泛代数，就可以对每种代数系统进行一次性证明。 下面提到的Higgins 1956年的论文为一系列特定代数系统提供了框架而受到广泛关注，而他1963年的论文则对具有仅部分定义运算的代数的讨论而备受瞩目，典型的例子就是范畴和广群。这引出了高维代数的话题，可定义为研究具有部分运算的代数理论，其域是在几何条件下定义的。著名的例子是各种形式的高维范畴和广群。 约束满足问题. 泛代数为约束满足问题（CSP）提供了一种自然的语言。CSP是一类重要的计算问题：给定关系代数A和其上的句子formula_7，如何确定formula_7能否在A中得到满足。代数A通常是确定的，因此CSP"A"指实例仅为存在语句formula_7的问题。 可以证明，对某个代数A，每个计算问题都可表为CSP"A"。 例如，n色问题可表述为代数formula_10的CSP，即具有formula_11个元素和一个关系式（不等式）的代数。 二分猜想（2017年4月证明）指出，若A是有限代数，则CSP"A"要么是P问题，要么是NP完全问题。 推广. 还可用范畴论手段研究泛代数：可用特殊的范畴描述代数结构，称为劳维尔理论或更广义的代数论。相对地，也可用单子描述代数结构。这两种方法密切相关，各有优势。 特别地，每个劳维尔理论都在集合范畴上给出了单子，而集合范畴的任何“有限”单子都产生于某个劳维尔理论。单子描述的是特定范畴（如集合范畴）中的代数结构，而代数论描述的是一大类范畴（即有有限积的范畴）中任何范畴的结构。 范畴论的最新发展是算元论——算元是一系列运算，类似于泛代数，但只允许在带变量的表达式间建立等式，不允许重复或省略变量。因此，环可悲描述为某些算元的所谓“代数”，但不能描述为群，因为formula_12在左侧重复了变量g，在右侧省略了变量g。起初这似乎是个麻烦的限制，但其结果是，算元有某些优势：例如，可以统一环和向量空间，得到结合代数，但无法统一环和向量空间。 另一处发展是偏代数，其中的运算可以是偏函数。某些偏函数也可通过所谓“本质代数论”的劳维尔理论推广来处理。 泛代数的另一种推广是模型论，有时被描述为“泛代数+逻辑”。