黎曼流形

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黎曼流形

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黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点"p"的切空间都定义了点积，而且其数值随"p"平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。每个R"n"的平滑子流形可以导出黎曼度量：把R"n"的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以这样产生。我们可以"定义"黎曼流形为和R"n"的平滑子流形是等距同构的度量空间，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从R"n"导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：如果γ : ["a", "b"] → "M"是黎曼流形"M"中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度"L"（γ）为 formula_1 （注意：γ'（"t"）是切空间"M"在γ（"t"）点的元素；||·||是切空间的内积所得出的范数。）使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形"M"很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在"x"与"y"两点之间的距离"d"（"x", "y"）定义为： "d"("x","y") = inf{ L(γ) : γ是连接"x"和"y"的一条光滑曲线}。虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在：那就是测地线。在黎曼流形中，测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。

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