向量丛

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向量丛(vector bundle)也翻译成向量-{束，是数学，特别是几何学，上的一种几何结构，在空间 "X"（"X" 可以是拓扑空间、流形或代数簇）的每一点指定(或"黏上")一个向量空间(比如 formula_1)，而这些向量空间“粘起来”又构成一个新的拓扑空间（或流形，或代数簇）。在 "X" 之上的向量丛最简单的例子是，"X"×formula_1，另一个较复杂的典型的例子是微分流形的切丛(tangent bundle)：对流形的每一点"黏"上流形在该点的切空间。另一个例子是法丛：给定一个平面上的光滑曲线，可在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线；这就是曲线的"法丛"。向量丛定义中的向量空间主要常见的是实空间(formula_1)跟复空间(formula_4)，分别称作实向量丛跟复向量丛。复向量丛可以视为一种带有附加结构的实向量丛。向量丛是纤维丛的一种。定义和直接的结果. 一个实向量丛要包含下列空间跟映射：且这些空间跟映射要满足以下相容性条件：对 "X" 中的每一点有一个开邻域 formula_5 包含这点，一个自然数 "n",和一个同胚 formula_6 使得对所有"x" ∈ "U",: 开邻域"U"和同胚φ合起来叫做丛的局部平凡化。这表示映射π在局部看起来"像" "U" × R"n"到"U" 上的投影. 向量丛 "X" × R"n" 称为平凡，如果赋予这空间一个投影映射　"X" × R"n" → "X"，也就是 "E"="X" × R"n" 整体上是 "X" 的乘积空间。每个纤维π−1（"x"）是一个有限维实向量空间，所以有在点 "x" 有一个维数"d""x"，由局部平凡化的性质可知函数　formula_9 在局部上是常数，也就是它在"X"　的每个连通的部份上为常数。如果它在"X"上是常数的话，我们把这个维数叫做向量丛的"阶"。一阶向量丛也叫线丛。向量丛态射. 一个从向量丛π1 : "E"1 → "X"1到向量丛π2 : "E"2 → "X"2的态射（morphism）是一对连续映射"f" : "E"1 → "E"2和"g" : "X"1 → "X"2使得所有向量丛的类和丛的射组成了一个范畴。限制到光滑流形和光滑丛射，我们就有了光滑向量丛的范畴。我们可以考虑有一个固定基空间"X"的所有向量丛组成的范畴。我们取那些在基空间"X"上为恒等映射（identity map）的射作为在这个范畴中的射. 也就是说，丛射满足下面的交换图：（注意这个范畴不是可交换的；向量丛的射的核通常不能很自然的成为一个向量丛。）截面和局部自由层. 给定一个向量丛 π : "E" → "X"，和 "X" 的开子集 "U"，我们可以考虑这个向量丛在 "U" 上的截面，也就是连续函数 "s" : "U" → "E" 满足 (π∘"s")=id"U"。本质上，截面在 "U" 的每一点指定一个向量，且这向量属于在该点的"纤维"，即 "s"("x") ∈ π−1（"x")，并且要求这种指定要有连续性(或可微性，依讨论空间而有所不同)。例如，微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场("微分"流形上一般会要求向量场可微)。令 "F"("U") 为"U"上所有截面的集合. "F"("U")中至少有个元素 "s"，称作零截面(zero section)，这个截面函数 "s" 会把 "U" 的每一点 "x" 都映射到向量空间π−1（"x"）中的零向量。使用每点的加法和数乘，"F"("U")本身也构成了向量空间。这些向量空间的总和就是 "X" 上的向量空间的层(shelf)。若 "s" 属于"F"("U") 而 α : "U" → R是 "U" 上的连续函数，则α"s" 依然属于集合 "F"("U")。我们可以看到 "F"("U") 是一个 "U" 上的连续实值函数的环上的模，进一步讲，若O"X"表示"X"上连续函数的层结构，则"F"是O"X"-模的一个层. 不是O"X"-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的：只有局部自由层可以从这种方法得到。（理由：局部的，我们要找一个投影"U" × R"n" → "U"的一个截面，这些恰好是连续函数"U" → R"n",并且这一函数是连续函数"U" → R"n"-元组.）更进一步讲："X"上的实向量丛的范畴是等价于O"X"-模的局部自由和有限生成的层的。所以我们可以将向量丛视为位于O"X"-模的层的范畴内；而后者是可交换的，所以我们可以计算向量丛的射的核。向量丛上的操作. 两个"X"上的在同一个域上的向量丛，有一个惠特尼和,在每点的纤维为那两个丛的纤维的直积。同样，"纤维"向量积和对偶空间丛也可以这样引入。变种和推广. 向量丛是纤维丛的特例。光滑向量丛定义为满足"E"和"X"是光滑流形，π : "E" → "X"是光滑映射，而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量丛。把实向量空间换成复向量空间(complex vector space, 既纯量为复数的向量空间)，就得到了复向量丛(complex vector bundle)。这是结构群的约化的特例。也可以用其他拓扑域上的向量空间，但相对比较少见。除了有限维的向量空间以外，如果"纤维"是某个巴拿赫空间（而不仅是R"n"），就可以得到巴拿赫丛.

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