!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 QR分解法是一种将矩阵分解的方式。这种方式，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。QR分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR分解也是特定特征值算法即QR算法的基础。 类别及定义. 方阵. 任何方块矩阵A都可以分解为 formula_1 其中"Q"是正交矩阵（意味着"Q"T"Q" = "I"）而"R"是上三角矩阵。如果"A"是非奇异的，且限定"R"的对角线元素为正，则这个因数分解是唯一的。 更一般的说，我们可以因数分解复数formula_2×formula_3矩阵（有着"m" ≥ "n"）为formula_4×formula_3幺正矩阵（在"Q" ∗"Q" = "I" 的意义上，不需要是方阵）和formula_3×formula_7上三角矩阵的乘积。对m<n的情况，在"Q"是formula_4×formula_2方阵，而R则是formula_4×formula_3矩阵。 长方形矩阵. 更一般地，我们可以将"m"×"n"的"A"矩阵，其中"m" ≥ "n"，分解成"m"×"m"酉矩阵"Q"和"m"×"n"三角矩阵"R"的成积。由于"m"×"n"上三角矩阵的底部("m"−"n")行完全由零组成，因此对"R"或"R"和"Q"进行分解通常很有用： formula_12 其中"R"1是"n"×"n"上三角矩阵，0是("m" − "n")×"n"零矩阵，"Q"1是"m"×"n"，"Q"2是"m"×("m" − "n")，且"Q"1和"Q"2都是有正交列。 已隐藏部分未翻译内容，欢迎参与[ 翻译]。 QL、RQ 和 LQ 分解. 类似的，我们可以定义A的QL，RQ和LQ分解。其中L是下三角矩阵。 QR分解的求法. QR分解的实际计算有很多方法，例如Givens旋转、Householder变换，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。 使用Householder变换. Householder变换. Householder变换将一个向量关于某个平面或者超平面进行反射。我们可以利用这个操作对formula_13的矩阵formula_14进行QR分解。 矩阵formula_15可以被用于对一个向量以一种特定的方式进行反射变换，使得它除了一个维度以外的其他所有分量都化为0。 令formula_16为矩阵formula_14的任一"m"维实列向量，且有formula_18（其中formula_19为标量）。若该算法是通过浮点数实现的，则formula_19应当取和formula_16的第formula_22维相反的符号（其中formula_23是要保留不为0的项），这样做可以避免精度缺失。对于复数的情况，令 formula_24 接下来，设formula_26为单位向量formula_27，||·||为欧几里德范数，formula_28为formula_29单位矩阵，令 formula_30 ， formula_31 ， formula_32 。 或者，若formula_14为复矩阵，则 formula_34，其中formula_35 式中formula_36是formula_37的共轭转置（亦称埃尔米特共轭或埃尔米特转置）。 则formula_15为一个formula_29的Householder矩阵，它满足 formula_40 利用Householder矩阵，可以将一个formula_41的矩阵formula_42变换为上三角矩阵。 首先，我们将A左乘通过选取矩阵的第一列得到列向量formula_37的Householder矩阵formula_44。这样，我们得到的矩阵formula_45的第一列将全部为0（第一行除外）： formula_46 这个过程对于矩阵formula_42（即formula_45排除第一行和第一列之后剩下的方阵）还可以继续做下去，从而得到另一个Householder矩阵formula_49。注意到formula_49其实比formula_44要小，因为它是在formula_45而非formula_14的基础上得到的。因此，我们需要在formula_49的左上角补上1，或者，更一般地来说： formula_55 将这个迭代过程进行formula_56次之后（formula_57）,将有 formula_58 其中R为一个上三角矩阵。因此，令 formula_59 则formula_60为矩阵formula_14的一个QR分解。 相比与Gram-Schmidt正交化，使用Householder变换具有更好的数值稳定性。 例子. 现在要用Householder变换求解矩阵formula_14的formula_63 分解。 formula_64 因为formula_65, 令formula_66，则 formula_67 这样就得到formula_74上的一组正交基formula_75，以及相应的标准正交基formula_76。 例子. 现在要用格拉姆-施密特变换求解矩阵formula_14的formula_63 分解。 formula_79 令， formula_80 formula_81 formula_82 formula_83 formula_84 formula_85 那么可知， formula_86 由formula_87，可知， formula_88 Matlab. MATLAB以qr函数来执行QR分解法，其语法为 formula_89 其中Q代表正规正交矩阵， 而R代表上三角形矩阵。 此外，原矩阵A不必为正方矩阵； 如果矩阵A大小为formula_41，则矩阵Q大小为formula_29，矩阵R大小为formula_41。 用途. 解线性方程组. 对于直接求解线性方程组的逆，用QR分解的方法求解会更具有数据的稳定性。 对于求解一个线性系统formula_93, 这里formula_14的维度是formula_41。 如果formula_96, 那么formula_97,这里formula_98)。 formula_99 的形式是 formula_100，formula_101是formula_102上不为0的部分。 那么对于 formula_103 如果formula_104, 那么formula_105,这里formula_98)。本质是最小化formula_107 formula_108