拓扑空间 拓扑空间（）是一种赋予「一点附近」这个概念的抽象数学结构，由此可以定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。 定义动机. 拓扑结构最实用的动机，在于怎么去定义「一点的附近」，用以定义函数极限。 对于度量空间 formula_1 内的任一点 formula_2，可定义中心为 formula_2，半径为 formula_4 的开球 formula_5 然后把开球视为点 formula_2 附近的「开放边界区域」。但考虑到「区域」应该是有任意形状的，那一般的「开放边界区域」，应该是任取里面的点 formula_2 ，都会有一个够小的开球 formula_8 完全落在这个区域里，也就是说，可以定义 formula_1 的开子集 formula_10 为满足如下条件的子集合 formula_11 这样定义的开集有一些有趣的性质： (1) 任二开集的交集也是开集 任取两个 formula_1 的开子集 formula_13 ，若 formula_14 ，根据定义存在 formula_15 使得 formula_16 formula_17 这样若取 formula_18 ，则会有： formula_19 也就是说， formula_20 也是个开集。 (2) 任意个开集的并集也会是开集 若 formula_21 是一群开集所构成的集合，也就是说 formula_22 如果取 formula_23 换句话说： formula_24 这样的话，显然有 formula_25 所以 formula_26 也会是一个开集。 以上的性质促使人们在不依托度量情况下，去定义一个描述「一点的附近」的结构，换句话说，去抽象的定义一群开集是这么样的特殊集合，任二开集的交集是开的且任意开集的联集也是开的。 正式定义. 拓扑结构一词涵盖了开集系，闭集系，邻域系，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价结构。 开集系. 根据定义动机一节可以作如下的定义：  formula_27 的子集族 formula_28 若满足以下开集公理 则称 formula_29 为 formula_27 的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑，formula_31 则被称为一拓扑空间，formula_27 内的元素 formula_33 则称为拓扑空间 formula_31 的点。 开集系的代号 formula_29 是字母「O」的德文尖角体，取名自德语形容词「-- 」（开的）。 从开集系出发定义其它概念：（formula_36 为 formula_27 的子集） 闭集系. formula_27 的子集族 formula_49 若满足如下闭集公理： 则称 formula_50 为 formula_27 的闭集系（其中的元素称为闭集）。 开集系的代号 formula_50 是字母「 F」 的德文尖角体，取名自法语动词「-- 」（关闭）的过去分词「-- 」（封闭的）。 根据德摩根定理和量词符号的意义，以下的子集族 formula_53 为开集系，类似地，对于开集系 formula_29 ，以下的子集族 formula_55 为闭集系，所以闭集系跟拓扑是等价的结构。 从闭集系出发定义其它概念：（formula_36 为 formula_27 的子集） 邻域系. 函数 formula_63（ formula_64 指 formula_27 的幂集的幂集，也就是由所有子集族所构成的集合）若对任意 formula_33 满足如下邻域公理： 这样任意 formula_67 被称为 formula_2 的邻域系， formula_67 里的元素 formula_70 则称为 formula_2 的邻域。 换句话说，函数 formula_72 将 formula_27 的每个点 formula_33 映射至 formula_67 ，而 formula_67 则是所有 formula_2 的邻域所构成的集族。 邻域系的代号 formula_72 是字母「 U」 的德文尖角体，取名自德语动词「 -- 」（环绕）的名词化「-- 」（周围、环境）。 若取以下的子集族 formula_79 因为 formula_27 包含任意邻域， formula_27 本身显然为任意 formula_33 的领域，故 formula_83 ；另外空集合 formula_84 没有任何属于它的点，所以根据实质条件的意义，formula_85。 若取 formula_86 ，根据邻域公理的第二项有 formula_87 ；若取 formula_88 ，且 formula_89 ，那换句话说 formula_90 这样的话有 formula_91 那这样根据邻域公理第三项，formula_92，所以 formula_93 的确是个开集合系。 类似地对于开集系 formula_29 ，若对任意 formula_33 取 formula_96 那 formula_67 也会符合上面四款邻域系公理（注意到第四项取 formula_98 ），所以对所有 formula_33 定义了邻域系等同于定义了一个拓扑。 从邻域系出发定义其它概念：（formula_36 为 formula_27 的子集） 闭包公理. formula_27的幂集formula_110上的一元运算formula_111（即将formula_27的子集A映射为formula_27的子集formula_114）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算formula_115满足下述的闭包公理： 集合formula_39的闭包通常记为formula_61。 从闭包出发定义其它概念： 开核公理. formula_27的幂集formula_110上的一元运算formula_134（即将formula_27的子集A映射为formula_27的子集formula_137）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算formula_138满足如下开核公理： 集合formula_39的开核通常记为formula_45。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。 从开核出发定义其它概念： 导集公理. formula_27的幂集formula_156上的一元运算formula_157（即将formula_27的子集formula_39映射为formula_27的子集formula_161）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当formula_162满足以下导集公理： 从导集出发定义其它概念： 拓扑之间的关系. 同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑formula_170的每一个开集都是拓扑formula_171的开集时，称拓扑formula_171比拓扑formula_170更细，或称拓扑formula_170比拓扑formula_171更粗。 仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。 最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。 在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。 连续映射与同胚. 类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。 定义 —  formula_176 与 formula_177 都是拓扑空间，如果函数 formula_178 满足： formula_179 称 formula_180 为 formula_181-formula_182 连续。 若更进一步，formula_180 为双射而有反函数 formula_184 且 formula_185 为 formula_182-formula_181 连续，则称 formula_180 为 formula_181-formula_182 同胚映射，且称formula_191 与 formula_192 是同胚的。 拓扑空间范畴. 拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。 相关概念. 基本概念. 给定拓扑空间formula_205，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）： A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。 X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。 c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。 A的闭包c(A)中的点称为A的触点。 称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。 称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。 称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。 称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。 X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。 A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。 称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。 称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。 称A为完备集，当且仅当A等于其导集。 A的最大自密子集称为A的自密核。 称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。 网. 网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集formula_206。 空间formula_27上的一个网formula_208是从有向集合formula_39映至formula_27的映射。 若存在formula_33，使得对每个formula_2的邻域formula_129都存在formula_214，使得formula_215，则称网formula_208收敛至formula_2。 几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网 拓扑空间的例子. 例子.  {∅, "X"} 会形成一个-{zh-hans:平庸拓扑;zh-hant:密著拓扑}-。 3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下： 拓扑空间的分类. 依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。 以下假设X为一个拓扑空间。 分离公理. 详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。 X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立： *对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。 *x的邻域系和y的邻域系相同。 *formula_218，且formula_219。 X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。 X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。 X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。 X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。 X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。 X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。 X称为道路连通的，当且仅当其任意两点"x"和"y"，存在从"x"到"y"的道路"p"，也即，存在一个连续映射"p": [0,1] → "X"，满足"p"（0）= "x" 且"p"（1）= "y"。道路连通的空间总是连通的。 X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。 X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射formula_220都与常数映射同伦。 X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。 X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。 X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。 X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。 紧性. （详细资料请参照紧集） X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。 X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。 X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。 X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。 X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。 X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。 可度量化. 可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。 拥有代数结构的拓扑空间. 对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群formula_221乃是一个拓扑空间配上连续映射formula_222（群乘法）及formula_223（反元素），使之具备群结构。 同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。 结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。 拥有序结构的拓扑空间. 拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括： 外部链接. n个元素的集上总拓扑数规律