八元数（）是以实数构建的8维度赋范可除代数，为四元数非结合推广的超复数，通常记为O或formula_1。八元数的8个维度可以视为2个4维度之四元数的组合。八元数不具备结合律和交换律，但具备交错代数的特性，并保有幂结合性。 也许是因为八元数的乘法不具备结合性，因此它们作为超复数而言受关注的程度较四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和中也有应用。 历史. 八元数第一次被描述于1843年，于一封给威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为「octaves」。:168后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的，因此八元数又被称为凯莱数或凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。 定义. 八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例，八元数可以表达为2个四元数 formula_3 在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, "i", "j", "k", "l", "il", "jl", "kl"}的线性组合。也就是说，每一个八元数"x"都可以写成 formula_4 其中系数"x""a"是实数。 这些八元数单位亦满足： formula_5 八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。 一些不同的定义方式会将八元数的单位元素表达为"e""a"的线性组合，其中 "a" 0, 1..., 7 ： formula_6 当中的formula_7为实数单位。每个八元数单位元素皆不相等，而其平方为实数。也就是说，每个八元数： formula_8:5 其中xi为单位元素ei的系数，且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的，与四元数的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出，其乘法表的结构与{1, "i", "j", "k", "l", "il", "jl", "kl"}的模式（formula_2）类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述： 除了主对角线上以及formula_7作为操作数的行和列的元素之外，乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的，这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。 该表可总结如下： formula_11 其中δij为克罗内克δ函数（当且仅当"i" "j"时为1）、 εijk为，且当"ijk" 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，值为1。 然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是formula_12八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素formula_6的符号来获得。这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的，很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。 这480个八元数乘法定义中，每一定义的正负号在7循环（1234567）下的特定点上都是不变的，并且对于每个7循环有四个定义，它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 "e"1"e"2 "e"4的7循环（1234567）下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面，该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表"e""n"和formula_14格式的矩阵。 此外，亦有一些文献会将八元数的单位定义为formula_15。 凯莱-迪克松构造. 一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数formula_16和formula_17的乘积定义为：:153 formula_18 其中formula_19表示四元数formula_20的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。 法诺平面记忆. 一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过"i"、"j"和"k"的圆也视为一条直线），称为。这些直线是有向的。七个点对应于Im(formula_1)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。 设("a", "b", "c")为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出： "ab" = "c"，"ba" = −"c" 以及它们的。这些规则 完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了formula_1的一个子代数，与四元数formula_24同构。:151-152 共轭、范数和逆元素. 八元数 formula_4 的共轭为： formula_26 当中除了实数项外，其余项正负号皆相反。因此若将八元数单位表达为{"e"1, "e"2 ... "e"7}，则八元数的共轭可以简化表示为：:6 formula_27 共轭是formula_1的一个对合，满足formula_29（注意次序的变化）。 "x"的实数部分定义为formula_30，虚数部分定义为formula_31。所有纯虚的八元数生成了formula_1的一个七维子空间，记为Im(formula_1)。:186 八元数"x"的范数可用与自身共轭的积formula_34来定义： formula_35 formula_39 这个范数与formula_40上的标准欧几里得范数是一致的。 formula_1上范数的存在，意味着formula_1的所有非零元素都存在逆元素。"x" ≠ 0的逆元素为：:6 formula_43 它满足formula_44。 性质. 八元数的乘法既不是交换的：:6 formula_45 也不是结合的：:41 formula_46 然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性:2。这就是说，由任何两个元素所生成的是结合的。:3实际上，我们可以证明，由formula_1的任何两个元素所生成的子代数都与formula_48、formula_49或formula_24同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。 八元数确实保留了formula_48、formula_49和formula_24共同拥有的一个重要的性质：formula_1上的范数满足 formula_55 这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因为它们都存在零因子。 这样，实数域上唯一的赋范可除代数是formula_48、formula_49、formula_24和formula_1。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的。:155 由于八元数不是结合的，因此formula_1的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。 自同构. 八元数的自同构"A"，是formula_1的可逆线性变换，满足： formula_62 formula_1的所有自同构的集合组成了一个群，称为。群"G"2是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是中最小的一个。 参考文献.