龙格-库塔法

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龙格-库塔法

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数值分析中，龙格-库塔法（英文：Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。四阶龙格-库塔法. 在各种龙格－库塔法当中有一个方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。令初值问题表述如下。 formula_1 则，对于该问题的RK4由如下方程给出： formula_2 其中 formula_3 formula_4 formula_5 formula_6 这样，下一个值（"y""n"+1）由现在的值（"y""n"）加上时间间隔（"h"）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值： formula_7 RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是"h"5阶，而总积累误差为"h"4阶。注意上述公式对于标量或者向量函数（"y"可以是向量）都适用。显式龙格-库塔法. 显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 formula_8 其中 formula_9 formula_10 formula_11 formula_12 formula_13 （注意：上述方程在不同著述中有不同但等价的定义）。要给定一个特定的方法，必须提供整数"s"（级数），以及系数 "a""ij"（对于1 ≤ "j" < "i" ≤ "s"）, "b""i"（对于"i" = 1, 2, ..., "s"）和"c""i"（对于"i" = 2, 3, ..., "s"）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为"Butcher tableau"（得名自）：龙格－库塔法是自洽的，如果 formula_14 如果要求方法的精度为"p"阶，即截断误差为O("h""p"+1)的，则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求"b"1 + "b"2 = 1, "b"2"c"2 = 1/2, 以及"b"2"a"21 = 1/2。例子. RK4法处于这个框架之内。其表为：然而，最简单的龙格－库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式为formula_15。这是唯一自洽的一级显式龙格－库塔法。相应的表为：隐式龙格-库塔法. 以上提及的显式龙格－库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格－库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格－库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格－库塔法，一般而言，隐式龙格－库塔法具有以下形式： formula_16 其中 formula_17 在显式龙格－库塔法的框架里，定义参数formula_18的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格－库塔法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别： formula_19 需要注意的是，与显式龙格－库塔法不同，隐式龙格－库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组，这相应的增加了计算的成本。

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