CW复形

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CW复形，又称胞腔复形，在拓扑学上属于拓扑空间之一类，由J.H.C.怀特海德引入，用于同伦理论。其思想是构造一类空间，比单纯复形更为广泛（我们现在可以说，有更好的范畴论属性）；但还要保留组合的本质，因此计算方面的考虑没有被忽略。形式表述. 粗略地说，CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”（-- ），而“W”则代表“弱拓扑”（-- 单个 formula_1 维闭胞腔是指 formula_1 维闭球在贴映射下的像。例如，每个单纯形都是一个闭胞腔，或更一般地，每个凸多面体都是一个闭胞腔。单个 formula_1 维开胞腔则是一个同胚于 formula_1 维开球的拓扑空间。零维的开（或闭）胞腔是指一个单元素空间。而“闭有限”条件要求每个闭胞腔都可由有限个开胞腔所覆盖。 CW复形是一个豪斯多夫空间 formula_5，连同一个将 formula_5 划为开胞腔（维度不必统一）的划分，并满足以下性质：相对CW复形. 笼统地说，"相对CW复形"与CW复形的区别在于它容许一个额外的、不须带有任何胞腔结构的组件。遵照上文的定义，这个组件被视作负一维胞腔。 CW复形的归纳法定义. 如果一个CW复形中胞腔的维度最大为 formula_1，那么我们称这个CW复形是 formula_1 维的。若胞腔的维度没有上限，那么我们说这个CW复形是无穷维的。CW复形的 formula_1 维骨架是指所有维度不超过 formula_1 的胞腔的并。如果这个并集是闭集，那么它本身就是一个CW复形，称为原复形的子复形。因此，CW复形的 formula_1 维骨架是维度不超过 formula_1 的最大子复形。 CW复形常常由其各个维度上的骨架通过归纳来定义。首先定义0维骨架为离散空间。紧接着将1维胞腔黏着到0维骨架上。这一步先将每个1维胞腔先视作1维闭球，然后通过某个从这个闭球的边界——即0维球面 formula_26 ——到0维骨架的连续影射贴合。formula_26 上的每一点都与其在该映射下的像与0维骨架上的某一点等同；这构成一个等价关系。如此，1维骨架就定义成0维骨架和所有1维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间。概括而言，给定 formula_28 维骨架，formula_1 维骨架是由在此基础上黏着 formula_1 维胞腔得到。每个 formula_1 维胞腔同样先视作 formula_1 维闭球，然后通过某个从这个闭球的边界——即 formula_28 维球面 formula_34 ——到 formula_28 维骨架的连续影射贴合。formula_34 上的每一点都与其在该映射下的像与 formula_28 维骨架上的某一点等同；这同样构成一个等价关系。这样，formula_1 维骨架就定义成 formula_28 维骨架和所有 formula_1 维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间。在同构意义上，每个 formula_1 维CW复形都可依此由其 formula_28 维骨架构造而成，因此每个有限维CW复形都能按以上方法构造。甚至对于无穷维CW复形也成立，只要借助拓扑空间的归纳极限来描述以上无穷过程的结果，这个结论也是对的：在极限的集合 formula_5 中，子集是闭集当且仅当它与每一个"骨架"都交于闭集（相对于骨架本身的拓扑）。 CW复形的同调与上同调. CW复形的奇异同调（或上同调）可以通过胞腔同调计算。此外，在CW复形和胞腔映射的范畴内，胞腔同调可以解读成一种同调论。如要计算CW复形的广义（上）同调，谱序列是胞腔同调的一个类比。以下是一些计算的实例： * 对于球面 formula_54，取只带有一个0维胞腔和一个 formula_1 维胞腔的分解。胞腔链复形 formula_63 与同调皆为 formula_64 因为所有微分算子皆为零（实际上，上链复形与上同调亦然）。或者，如果我们取赤道分解，使得每个维度上各有两个胞腔，那么 formula_65 而微分算子是形为 formula_66 的矩阵。这个复形给出的同调与以上计算一致，因为复形在除 formula_67 与 formula_68 项外都是正合的。 * 对于复射影空间 formula_69，可以相似地算得 formula_70 之所以这两例中计算都尤其简单，是因为同调完全由胞腔数目确定——换言之，胞腔的黏着映射在计算中没有扮演任何角色。这个现象只是特例，在一般情况下并不成立。同伦范畴. 在某些专家眼中，CW复形的同伦范畴即使不是唯一的同伦范畴（基于技术原因，实际使用的版本是带基点的空间），也是同伦范畴的最佳候选。因此，可能会得出非CW复形的空间的辅助构造需尽量避免。在这方面的基本结论是布朗可表性定理：同伦范畴上的可表函子可以借助CW复形来相当精简地刻画。

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