加托导数 - 中文维基百科镜像

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加托导数

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数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的-{方向导数的概念的推广。它以勒内·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于变分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。定义. 假设 formula_1 和 formula_2 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间），formula_3 是开集合(open set)，且 formula_4。 formula_5 在点 formula_6 沿着 formula_7 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) formula_8 定义为 formula_9 如果极限存在。固定 formula_10 若 formula_8 对于所有 formula_12 都存在，则称 formula_5 在 formula_6 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 formula_5 在 formula_10 是加托可微，称 formula_17 为在 formula_10 的加托导数。称 formula_5 是在 formula_20 中连续可微的若 formula_21 是连续的。属性. 若加托导数存在，则其为唯一。对于每个formula_6，加托导数是一个算子formula_23。该算子是齐次的，使得 formula_24，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。例子. 令 formula_1 为一个在欧几里得空间 formula_26 勒贝格可测集 formula_27 上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是说 formula_28 是勒贝格可测集 formula_29。泛函 formula_30 由 formula_31 给出，其中 formula_5 是一个定义在实数上的可微实值函数且 formula_33 而 formula_10 为定义在 formula_27 的实数值函数，则加托导数为 formula_36 这符号代表 formula_37. 更详细的说： formula_38 formula_39 formula_40 令formula_41 (并假设所有积分有定义)，得到加托导数 formula_42 也就是，内积formula_43

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