笛卡儿积

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笛卡儿积

笛卡儿积 -{H|zh-hans:重定向;zh-hant:重新导向;}--{H|zh-cn:字符;zh-tw:字元;}--{H|zh-hans:文件; zh-hant:档案;}--{H|zh-hans:快捷方式; zh-hant:捷径;}--{H|zh-hans:项目;zh-hant:专案;zh-tw:计划;zh-hk:计划;zh-mo:计划;}--{H|zh-cn:计算机; zh-sg:电脑; zh-tw:电脑;}- 在数学中，两个集合formula_1和formula_2的笛卡儿积（），又称直积，在集合论中表示为formula_3，是所有可能的有序对组成的集合，其中有序对的第一个对象是formula_4的成员，第二个对象是formula_5的成员。 formula_6。举个实例，如果集合formula_4是13个元素的点数集合formula_8，而集合formula_5是4个元素的花色集合formula_10♠, ♥, ♦, ♣formula_11，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合formula_12♠formula_13♠formula_14♠formula_15♣formula_16♣formula_17♣formula_18。笛卡儿积得名于笛卡儿，因为这概念是由他建立的解析几何引申出来。笛卡儿积的性质. 易见笛卡儿积满足下列性质： formula_21 formula_22 formula_23 formula_24 formula_25 笛卡儿平方和n元乘积. 集合formula_1的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积formula_30。一个例子是二维平面formula_31，（这里formula_32是实数集） - 它包含所有的点formula_33，这里的formula_34和formula_35是实数（参见笛卡儿坐标系）。为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。可以推广到在formula_36个集合formula_37上的"n"-元笛卡儿积: formula_38。实际上，它可以被等同为formula_39。它是"n"-元组的集合。一个例子是欧几里得三维空间formula_40，这里的formula_32同样是指实数集。无穷乘积. 有限个集合可以看成某个一对一的有限集合序列 formula_42（因为序列是种以自然数系 formula_43 为定义域的函数），而 formula_34 的值域恰好是预备要依序进行笛卡儿积的所有集合，换句话说： formula_45 formula_46 这样的话，若有函数 formula_47 满足： formula_48 那就等价于 formula_49 换句话说，函数 formula_50 可以看做 formula_51 里的一个"n"-元组，而这就是以下无穷乘积定义的直观动机：定义 — 若 formula_52 是集合族 formula_53 的指标集，换句话说有指标函数 formula_34 让二者等势： formula_55 那以下的函数族 formula_56的时候：这正是其中第"i"项对应于集合"formula_57"的所有无限序列的集合。再次，formula_58提供了这样的一个例子： formula_59 是实数的无限序列的搜集，可视之为带有无限个构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子"Xi"都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。这样，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从"I"到"X"的所有函数的集合。在别的情况，无限笛卡儿积就不那么直观了；尽管在高等数学中的应用有其价值。 “非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”这一陈述等价于选择公理。函数的笛卡儿积. 如果formula_50是从formula_19到formula_62的函数，而formula_63是从formula_1到formula_2的函数，则它们的笛卡儿积formula_66是从formula_67到formula_68的函数，带有 formula_69 跟之前类似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况。

有序对

等价关系

全序关系

最小上界

上界和下界

最大下界

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方法 (电脑科学)

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问题

有界格