环 (代数) 环（-- ）是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算（记作「formula_1」和「formula_2」，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的实数加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。 环的定义类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「⋅」（注意我们这里所说的「+」与「⋅」一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。 定义. formula_3 为集合， formula_4 和 formula_5 为定义于其上的二元运算（一种二变数函数）。以下依照二元运算的惯例，将运算结果 formula_6 和 formula_7 分别简记为 formula_8 和 formula_9 。 formula_10 被称为环，若它满足： 其中 formula_33 常会被暱称为加法；类似的 formula_34 会被暱称为乘法，因为取 formula_35 （实数系）， formula_33 为普通的实数加法且 formula_34 为普通的实数乘法的话，formula_10显然为环。而此时加法单位元显然为实数 formula_39 ，所以有时会偷懒的将一般环的加法单位元 formula_17 简写为 formula_39 。 所以惯例上仿造实数乘法把 formula_42 简写为 formula_43 ；而且因为实数乘法优先于实数加法，所以也会规定 formula_44 是 formula_45 的简写。此外还会仿造实数减法，会把 formula_46 简写为 formula_47 。 定义的分歧. 在1960年代以前，多数抽象代数的书籍并不将乘法单位元列入环的定义；有些不要求乘法单位元的作者，会将包含乘法单位元的环称为「单位环」；反之，有些要求乘法单位元的作者，会将不含乘法单位元的环称为「伪环」。 基本性质. formula_48 为环，则对所有 formula_49 有： I. formula_50 证明： 可调换 formula_53 和 formula_39 的顺序， 仿上证明 formula_61 。 formula_62 II. formula_63 证明： 故 formula_66 的确是 formula_43 的加法反元素，仿上可证明 formula_68 也是 formula_43 的加法反元素。 formula_62 若环formula_3中，formula_27构成幺半群，即formula_73，使得formula_74，有formula_75，则称formula_3为幺环。此时幺半群formula_27的幺元formula_78，亦称为环formula_3的幺元。 若环formula_3中，formula_27还满足交换律，从而构成交换半群，即formula_82，有formula_83，则称formula_3为交换环。 若formula_3中没有非formula_39的零因子，则称formula_3为无零因子环。 无零因子的交换幺环称为整环。 环的相关概念. 特殊的环. 例：整数环，多项式环 若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环. 若环formula_3是幺环，且formula_88对formula_3上的乘法形成一个群，即formula_96，formula_97，使得formula_98。则称formula_3为除环。 每个理想都是主理想的整环称为主理想环。 若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。 这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。 环的理想. 考虑环formula_48，依环的定义知formula_11是阿贝尔群。集合formula_106，考虑以下条件： 若formula_113满足条件1、2则称formula_113是formula_115的右理想；若formula_113满足条件1、3则称formula_113是formula_115的左理想；若formula_113满足条件1、2、3，即formula_113既是formula_115的右理想，也是formula_115的左理想，则称formula_113为formula_115的双边理想，简称理想。 若formula_115的（左／右／双边）理想I满足：formula_113是formula_115的真子集，称formula_113为formula_115的真（左／右／双边）理想。 环formula_115及其真（左／右／双边）理想formula_113，称formula_113为formula_115的极大（左／右／双边）理想，若不存在formula_115的真（左／右／双边）理想formula_154，使得formula_113是formula_154的真子集。 * 若formula_113是极大（左／右）理想，又是双边理想，则formula_113是极大理想。 * 极大双边理想不一定是极大（左／右）理想。 环formula_115，formula_160，定义formula_161，则易知： * formula_162是环formula_115的理想，并且formula_162是formula_115中所有包含子集formula_127的理想的交，即formula_162是formula_115中包含子集formula_127的最小理想。 若formula_162为由子集formula_127生成的理想，称formula_127为formula_162的生成元集。当formula_127是有限集时，称formula_162为formula_115的有限生成理想。 * 下面是生成理想的几种特殊情况： *# 当formula_115是交换环时，formula_178 *# 当formula_115是幺环时，formula_180 *# 当formula_115是交换幺环时，formula_182 * 同一个理想，其生成元集可能不唯一。 由环formula_115中单个元素生成的理想称为formula_115的主理想。即，设formula_185，则formula_186称为formula_115的主理想。 真理想formula_113被称为formula_115的素理想，若formula_190理想formula_191，则formula_192或formula_193。 若环formula_115的零理想是素理想，则称formula_115是素环或质环。无零因子环是素环。在交换环formula_115中，真理想formula_113是素理想的充分且必要条件是：formula_198是素环. 环formula_115的真理想formula_113，若formula_190理想formula_127，formula_203，则称formula_113是环formula_115的半素理想。 * 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想，称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不尽然，即存在不是除环的单环。 * 定理1：在整数环formula_125中，由formula_207生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：formula_207是素数。 * 定理2：设formula_115是有单位元formula_210的交换环。理想formula_113是formula_115的极大理想的充分且必要条件是：商环formula_198是域。 * 定理3：设formula_113是环formula_115的左理想，则formula_113是formula_115的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在formula_113中的左理想J都有formula_219。 设formula_220是环中的非零元素，如果formula_221，称formula_222为左零因子；类似地可以定义右零因子。左零因子和右零因子通称零因子。