幂 \\\scriptstyle\text{ }\\\scriptstyle\frac{\scriptstyle\text{分 子 }}{\scriptstyle\text{分 母 }}\end{matrix}\right\}\,=\,;zh-hant:formula_1;}- 在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂（，power）；由此，若 formula_18 为正整数，formula_18 个相同的数 formula_20 连续相乘（即 formula_20 自乘 formula_18 次），就可将 formula_23 看作乘方的结果 ——“幂”。 formula_24 幂运算（-- ）又称指数运算、取幂，是数学运算，表达式为 formula_23，读作「formula_20 的 formula_18 次方」或「formula_20 的 formula_18 次幂」。其中，formula_20 称为底数，而 formula_18 称为指数，通常指数写成上标，放在底数的右边。在纯文字格式等不能用上标的情况，例如在编程语言或电子邮件中，formula_23 通常写成 b^n 或 b**n；也可视为超运算，记为 b[3]n；亦可以用高德纳箭号表示法，写成 b↑n。 当指数为 1 时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；指数为 2 时，可以读作“formula_20 的平方”；指数为 3 时，可以读作“formula_20 的立方”。 由于在十进制中，十的幂很容易计算，只需在后面加零即可，所以科学记数法借此简化记录的数字；二的幂则在计算机科学中相当重要。 。这样定义了后，很易想到如何一般化指数 0 和负数的情况：指数是零时，底数不为零，幂均为一（即除 0 外，所有数的 0 次方都是 1 ）；指数是负数时，就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即： formula_35 formula_36。 若以分数为指数的幂，则定义： formula_37， 即 formula_20 的 formula_18 次方再开 formula_40 次方根。 0的0次方（formula_41）目前没有数学家给予正式的定义；在部分数学领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为 1 。 此外，当 formula_18 是复数，且 formula_20 是正实数时， formula_44 exp 是指数函数，而 ln 是自然对数。 formula_45 formula_46 formula_48 运算律. 加法和乘法存在交换律，比如：formula_54，formula_55，但是幂的运算不存在交换律，formula_56，但是formula_57。 同样，加法和乘法存在结合律，比如：formula_58，formula_59。不过，幂运算没有结合律：formula_60，而formula_61，所以formula_62。 但是幂运算仍然有其运算律，称为指数律： 整数指数幂. 整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。 正整数指数幂. 表达式formula_69被称作formula_70的平方，因为边长为"formula_70"的正方形面积是formula_72。 表达式formula_73被称作"formula_70"的立方，因为边长为"formula_70"的正方体体积是formula_76。 所以formula_77读作「3的平方」，formula_78读作「2的立方」。 指数表示的是底数反复相乘多少次。比如formula_79，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。 或者，整数指数幂可以递归地定义成： formula_80 指数是1或者0. 注意formula_81表示仅仅1个3的乘积，就等于3。 注意formula_82，formula_83，formula_84，formula_85， 继续，得到formula_86，所以formula_87 另一个得到此结论的方法是：通过运算法则formula_88 当formula_89时，formula_90 零的零次方. formula_91 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是formula_92 ，在程式语言中（python） formula_93 在这里给出这一种极限的看法 formula_94 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图 负数指数. 我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。 formula_95 对于非零formula_70定义 formula_97, 而formula_98时分母为 0 没有意义。 证法一： 根据定义formula_99，当formula_100时 formula_101 得formula_102, 所以formula_103。 证法二： 通过运算法则formula_104 当formula_105时，可得formula_106 负数指数formula_107还可以表示成1连续除以formula_18个formula_70。比如： formula_110. 特殊数的幂. 10的幂. 在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：formula_111 因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 formula_112，近似值 formula_113 或 formula_114 国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 formula_115，词头“毫”就是 formula_116 1的幂. 1的任何次幂都为1。 0的幂. 0的正数幂都等于0。 0的负数幂没有定义。 任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是悬而未决的，某些领域下常用的惯例是约定为1。但某些教科书表示0的0次方为无意义。也有人主张定义为1。 负1的幂. -1的奇数幂等于-1 -1的偶数幂等于1 指数非常大时的幂. 一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大 当formula_117，formula_118，formula_119 当formula_120，formula_118，formula_122 或 formula_123 , (视乎n 是奇数或偶数) 一个绝对值小于1的数的幂趋于0 当formula_124，formula_118，formula_126 1的幂永远都是1 当formula_127，formula_118，formula_129 如果数"a"趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是： 当formula_130 参见e的幂 其他指数的极限参见幂的极限 正实数的实数幂. 一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。 N次方根. 一个数formula_70的formula_18次方根是formula_133，"formula_133"使formula_135。 如果"formula_70"是一个正实数，"formula_18"是正整数，那么方程formula_135只有一个正实数根。 这个根被称为"formula_70"的"formula_18"次方根，记作：formula_141，其中formula_142叫做根号。或者，"formula_70"的"formula_18"次方根也可以写成formula_145. 例如formula_146 当指数是formula_147时根号上的2可以省略，如：formula_148 有理数幂. 有理数指数幂定义为 formula_149 e的幂. 这个重要的数学常数"e"，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的： formula_150 指数函数的定义是： formula_151 可以很简单地证明"e"的正整数"k"次方formula_152是： formula_153 formula_154 formula_155 formula_156 formula_157 实数指数幂. 因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数"x"可以定义成： formula_158 例如： formula_159 于是 formula_160 实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。 自然对数formula_161是指数函数formula_162的反函数。 它的定义是：对于任意formula_163，满足 formula_164 根据对数和指数运算的规则： formula_165 这就是实数指数幂的定义： formula_166 实数指数幂formula_167的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。 负实数的实数幂. 如果formula_70是负数且formula_18是偶数，那么formula_170是正数。如果"formula_70"是负数且"formula_18"是奇数，那么formula_170是负数。 使用对数和有理数指数都不能将formula_174（其中"formula_70"是负实数，formula_176实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于formula_177（formula_18是奇数）可以使用"formula_18"次方根来计算，但是因为没有实数formula_133使formula_181，对于formula_177（"formula_18"是偶数）时必须使用虚数单位formula_184。 使用对数的方法不能定义formula_185时的formula_174为实数。实际上，formula_162对于任何实数"formula_133"都是正的，所以formula_189对于负数没有意义。 使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数formula_70因为它依赖于连续性。函数formula_191对于任何正的有理数formula_70是连续的，但是对于负数"formula_70"，函数formula_194在有些有理数formula_195上甚至不是连续的。 例如：当formula_196，它的奇数次根等于-1。所以如果"formula_18"是正奇数整数，formula_198当formula_40是奇数，formula_200当"formula_40"是偶数。虽然有理数formula_202使formula_203的集合是稠密集，但是有理数formula_202使formula_205的集合也是。所以函数formula_206在有理数域不是连续的。 因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成复数，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。 正实数的复数幂. e的虚数次幂. 复数运算的几何意义和"e"的幂可以帮助我们理解formula_207（"formula_133"是实数），即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形formula_209（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的formula_18，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于formula_211弧度。对于所有formula_176，三角形formula_213互为相似三角形。所以当"formula_18"足够大时formula_215的极限是复数平面上的单位圆上formula_133弧度的点。这个点的极坐标是formula_217，直角坐标是formula_218。所以formula_219，而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式，它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。 等式formula_220的解是一个整数乘以formula_221： formula_222 更一般地，如果formula_223，那么formula_224的每一个解都可以通过将formula_221的整数倍加上formula_20得到： formula_227 这个复指数函数是一个有周期formula_221的周期函数。 更简单的：formula_229。 三角函数. 根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是： formula_230 历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程 formula_231 使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。 e的复数指数幂. formula_232可以分解成formula_233。其中formula_162是formula_232的模，formula_236决定了formula_232的方向 正实数的复数幂. 如果formula_70是一个正实数，formula_239是任何复数，formula_240定义成formula_241，其中formula_242是方程formula_243的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。 例如： formula_244 formula_245 复数的复数幂. 复数的虚数幂. 让我们从一个简单的例子开始：计算formula_246。 formula_247 其中formula_248的得法参见上文正实数的复数幂 复数的复数幂. 类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算formula_249： formula_250 一般情况. 复数的复数幂必须首先化为底数为formula_251的形式： formula_252 又，由复数的极坐标表示法： formula_253 故 formula_254。 然后，使用欧拉公式处理即可。 由于复数的极坐标表示法中，辐角formula_255的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。 在函数中. 当函数名后有上标的数（即函数的指数），一般指要重复它的运算。例如formula_256即formula_257。特别地，formula_258指formula_259的反函数。 但三角函数的情况有所不同，一个正指数应用于函数的名字时，指答案要进行乘方运算，而指数为-1时则表示其反函数。例如：formula_260表示formula_261。因此在三角函数时，使用formula_262来表示formula_263的反函数formula_264。 计算自然数（正整数）"formula_18"的formula_266的算法. 最快的方式计算formula_266，当formula_18是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。 在C/C++语言中，你可以写如下算法： double power(double a, unsigned int n) double y = 1; double f = a; while (n > 0) { if (n % 2 == 1) y *= f; n »= 1; f *= f; return y; 此算法的时间复杂度为formula_269，比普通算法快（a自乘100次，时间复杂度为formula_270），在formula_18较大的时候更为显著。 例如计算formula_272，普通算法需要算100次，上述算法则只需要算7次。若要计算formula_273可先以上述算法计算formula_274，再作倒数。