二项式定理 -{H|zh-hans:重定向;zh-hant:重新导向;}--{H|zh-cn:字符;zh-tw:字元;}--{H|zh-hans:文件; zh-hant:档案;}--{H|zh-hans:快捷方式; zh-hant:捷径;}--{H|zh-hans:项目;zh-hant:专案;zh-tw:计划;zh-hk:计划;zh-mo:计划;}--{H|zh-cn:计算机; zh-sg:电脑; zh-tw:电脑;}- 二项式定理（）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如formula_1展开为类似formula_2项之和的恒等式，其中formula_3、formula_4均为非负整数且formula_5。系数formula_6是依赖于formula_7和formula_3的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如： formula_9 formula_2中的系数"formula_6"被称为二项式系数，记作formula_12或formula_13（二者值相等）。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。 历史. 二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献，他在17世纪描述了这一现象。但早在他之前，就曾有数学家进行类似的研究。例如，古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况。公元前三世纪，印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力罗摩发现。在同一时期，波斯数学家和数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪，中国数学家杨辉也得到了类似的结果。用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数。 定理的陈述. 根据此定理，可以将formula_14的任意次幂展开成和的形式 formula_15 其中每个formula_16 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于formula_17。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作 formula_18 后面的表达式只是将根据formula_19与formula_20的对称性得出的，通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换formula_20得到的，所以它只涉及一个变量。在这种形式中，公式写作 formula_22 或者等价地 formula_23 几何释义. 对于正值formula_6和formula_3，二项式定理，在formula_26时是在几何上的明显事实，边为formula_27的正方形，可以切割成1个边为formula_6的正方形，1个边为formula_3的正方形，和2个边为formula_6和formula_3的长方形。对于formula_32，定理陈述了边为formula_27的立方体，可以切割成1个边为formula_6的立方体，1个边为formula_3的立方体，3个formula_36长方体，和3个formula_37长方体。 在微积分中，此图解也给出导数formula_38的几何证明。设formula_39且formula_40，将formula_3解释为formula_6的无穷小量改变，则此图解将无穷小量改变，显示为formula_7维超立方体 formula_44： formula_45 其中（针对formula_46的）线性项的系数是formula_47，将公式代入采用差商的导数定义并取极限，意味着忽略高阶项formula_48和更高者，产生公式：formula_38。若再进行积分，这对应于应用微积分基本定理，则得到卡瓦列里求积公式：formula_50。 证明. 数学归纳法. 当formula_51， formula_52 假设二项展开式在 formula_53 时成立。若formula_54，formula_55 组合方法. 考虑formula_56，共7个括号相乘，从7个括号选出其中的4个括号中的formula_6，再从剩余的3个括号中选出3个formula_3相乘，便得一组formula_59，而这样的选法共有formula_60种，故总共有formula_60个formula_59；其他各项同理。 同理，formula_63，共formula_7个括号相乘，从"formula_7"个括号选出其中的formula_66个括号中的formula_6，再从剩余的formula_68个括号中选出formula_68个formula_3相乘，便得一组formula_71，而这样的选法共有formula_72种，故总共有formula_72个formula_71；其他各项同理。 不尽相异物排列方法. 考虑formula_56，每一个括号可以出"formula_6"或出"formula_3"，而最后要有4个"formula_6"、3个"formula_3"相乘，这形同formula_80的「不尽相异物排列」，其方法数为formula_81，恰好等于formula_60；其他各项同理。 同理，formula_63，每一个括号可以出"formula_6"或出"formula_3"，而最后要有"formula_66"个"formula_6"、formula_68个"formula_3"相乘，这形同formula_90的「不尽相异物排列」，其方法数为formula_91，恰好等于formula_72；其他各项同理。 一般形式的证明. 通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式 设formula_93, formula_94。注意只有当formula_95时上述两个函数才收敛 formula_101 formula_102 因为 formula_103 于是 formula_104 因为 formula_105 formula_106 formula_107 formula_108 formula_109 formula_112 formula_113 应用. 牛顿以二项式定理作为基础发明出了微积分 。其在初等数学中应用主要在于近似、估计以及证明恒等式等。 证明组合恒等式. 二项式定理给出的系数可以视为组合数 formula_114 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。 可以考虑恒等式 formula_116。 展开等式左边得到： formula_117。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 formula_118。 比较两边幂次为 formula_119 的项的系数可以得到: formula_120。 令 formula_121，并注意到 formula_122 即可得到所要证明的结论。 因为formula_124 令formula_125，代入上式，得 formula_126 多倍角恒等式. 在复数中，二项式定理可以与棣莫弗公式结合，成为多倍角公式。根据棣莫弗公式： formula_127 通过使用二项式定理，右边的表达式可以扩展为 formula_128 由棣莫弗公式，实部与虚部对应，能够得出 formula_129 即二倍角公式。同样，因为 formula_130 所以藉棣莫弗公式，能够得出 formula_131 整体而言，多倍角恒等式可以写作 formula_132 和 formula_133 e级数. 数学常数e的定义为下列极限值： formula_134 使用二项式定理能得出 formula_135 第formula_66项之总和为 formula_137 因为formula_138时，右边的表达式趋近1。因此 formula_139 这表明formula_140可以表示为 formula_141 推广. 该定理可以推广到对任意实数次幂的展开，即所谓的牛顿广义二项式定理： formula_142。其中formula_143。 多项式展开. 对于多元形式的多项式展开，可以看做二项式定理的推广： formula_144. 证明： 数学归纳法。对元数formula_7做归纳： 当formula_146时，原式为二项式定理，成立。 假设对formula_147元成立，则： formula_148 参考书目. 外部链接. -{H|zh-hans:重定向;zh-hant:重新导向;}--{H|zh-cn:字符;zh-tw:字元;}--{H|zh-hans:文件; zh-hant:档案;}--{H|zh-hans:快捷方式; zh-hant:捷径;}--{H|zh-hans:项目;zh-hant:专案;zh-tw:计划;zh-hk:计划;zh-mo:计划;}--{H|zh-cn:计算机; zh-sg:电脑; zh-tw:电脑;}-